专题10 角平分线模型-备战2021年中考数学二轮复习题型专练（浙江专用）

题型九 角平分线模型 【要点提炼】 在中考中考察几何时，不论简单的题目还是较难的题目，都会经常见到角平分线的身影，当题目中提到平分线时，往往可以用以下模型来解决问题，将这些模型牢记于心，就可以打开思路 1、 【导角模型】 导角模型指的是当三角形的两个内角（外角）的平分线相交时，可以导出平分线夹角的度数，例如下面三幅图分别是：两内角平分线、两外角平分线、一内角平分线与一外角平分线 图一：∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°- （180°-∠A）=90°+∠A 2、 【角平分线性质定理、及逆定理】 角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等 已知AD平分∠EAB，则DB=DE（DE常作为辅助线） 角平分线性质定理的逆定理：到角两边距离相等的点在角平分线上 已知DB=DE，则AD平分∠EAB（DE常作为辅助线） 三、【角平分线遇到垂线】 如图，当已知AD平分∠CAB、并且CD⊥AD时，我们常会延长CD交AB与点B，从而可以得到全等，利用全等得到的边等和角等来做题 四、【角平分线+平行线=等腰三角形】 已知BD平分∠ABC、CD∥AB，则可证▲BCD为等腰三角形 ∵BD平分∠ABC ∴∠1=∠2 ∵CD∥AB ∴∠1=∠3 ∴∠2=∠3 ∴CD=BC ∴▲BCD为等腰三角形 5、 【利用角平分线构造全等（常用于截长补短的问题）】 已知AD平分∠BAC，可在AC上截取AE=AB，连接DE，即可得到▲ABD全等于▲AED 6、 【角平分线与比例线段】 已知AD平分∠BAC，可过B作BE∥AC，并延长AD交BE于点E，可证▲BDE相似于▲ACD，易证 由于▲ABE易证等腰三角形，则BE=AB，所以可得比例式 【专题训练】 一．选择题（共3小题） 1．（2020•河池）如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED＝4．则CE的长是（　　） A．5 B．6 C．4 D．5 2．（2020•绵阳）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DF∥BC，∠ABC的平分线BE交DF于点G，GH⊥DF，点E恰好为DH的中点，若AE＝3，CD＝2，则GH＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2020•湖北）如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF．下列结论：①BD＝CE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE＝45°．其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共1小题） 4．（2020•湘潭）如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为　 　． 三．解答题（共7小题） 5．（2020•贺州）如图，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，点C在⊙O上，BC＝BD，AE⊥CD交DC的延长线于点E，AC平分∠BAE． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若CD＝6，求⊙O的直径． 6．（2020•桂林）如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E． （1）求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上； （2）求证：CD平分∠ACB； （3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求证：BO2+OF2＝EF•BF． 7．（2020•宁夏）如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D为AC上一点，以CD为直径的⊙O交AB于点E，连接CE，且CE平分∠ACB． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）连接DE，若∠A＝30°，求． 8．（2020•广东）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB是⊙O的直径，CO平分∠BCD． （1）求证：直线CD与⊙O相切； （2）如图2，记（1）中的切点为E，P为优弧上一点，AD＝1，BC＝2．求tan∠APE的值． 9．（2020•孝感）已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，与AC交于点E，连接CD并延长与⊙O过点A的切线交于点F，记∠BAC＝α． （1）如图1，若α＝60°， ①直接写出的值为　 　； ②当⊙O的半径为2时，直接写出图中阴影部分的面积为　 　； （2）如图2，若α＜60°，且，DE＝4，求BE的长． 10．（2020•扬州）如图1，已知点O在四边形ABCD的边AB上，且OA＝OB＝OC＝OD＝2，OC平分∠BOD，与BD交于点G，AC分别与BD、OD交于点E、F． （1）求证：OC∥AD； （2）如图2，若DE＝DF，求的值； （3）当四边形ABCD的周长取最大值