江苏省苏州市八校联盟2021届高三第三次适应性检测数学试题（word版，含答案）

2021届高三年级苏州八校联盟第三次适应性检测 数 学 试 卷 （参考答案） （满分150分 考试时间120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．A 2．C 3．B 4．C 5．A 6．B 7．C 8．D 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分． 9．ACD 10．BD 11．ABD 12．AD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13． 14．15 15． 16． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 如图，在平面四边形ABCD中， ， ． （1）若 ，求三角形ABD的面积； （2）若 求 的大小. 【解析】（1）在 中，由 ， 可得 ， 在 中，由正弦定理知 ，可得 ．．．．．．．．．．．2分 所以 ．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）由 ， 在 中，由正弦定理知， EMBED Equation.DSMT4 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 又 ，所以sin∠ABD=cos∠CBD 从而有 两式相除可得 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 由 因此有 ，由 可得 ．．．．．．．．．．10分 （延长BA，CD交与点E，在三角形EAD中计算同样给分） 18．（本小题满分12分） 已知数列{an}为等比数列，且各项均为正数， ， 是 与 的等差中项．记正项数列{bn}前n项之积为Tn，b1=1， ． （1）求数列 与 的通项公式； （2）证明： ． 【解析】（1）设等比数列{an}的公比为q，由各项为正，故q>0． 由于 是 与 的等差中项，可得 ， 又a1=2，所以 ，因此 ， 从而 ，即an=2n ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 由bn>0, b1=1， ． 当 时， ，得 ，故 ， b1=1，b2=2均符合上式，所以 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2） ，．．．．．．．6分 因此有： ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 要证不等式成立，即证 由 可得数列 递增，．．．10分 所以 ． 由此 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 （亦可运用二项式定理证明） 19．（本小题满分12分） 如图，多面体PQABCD中，四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD， ， ， ， ． （1）设点F为棱CD的中点，求证：对任意的正数a， 四边形PQFA为平面四边形； （2）当 时，求直线 与平面 所成角的正弦值． 【解析】（1）方法1：设 在平面内的射影为E，由QC=QD可得EC=ED， 所以点E在CD的垂直平分线上 ．．．．．．．．．．．．2分 由ABCD是菱形，且 ，故直线AE与CD的交点即为CD的中点F．．．．．4分 因为PA⊥平面ABCD，QE⊥平面ABCD，所以 ， 从而PA，QE共面，因此 PQ，FA共面，所以PQFA为平面四边形．．．．．．．．．．．．．6分 方法2：证明CD⊥平面AFQ， ．．．．．．．．．．．．2分 再证明CD⊥平面PAF ．．．．．．．．．．．．．4分 由AFQ与平面PAF均过点A可得平面AFQ与平面PAF重合． 即P、Q、F、A共面，所以PQFA为平面四边形． ．．．．．．．．．．．．6分 （2）分别以AB、AF、AP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)， 当 时，由 可得 , 所以Q的坐标为 ，． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 可求平面 的一个法向量为 ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 设直线 与平面 所成角为 ， 则 ， 从而直线 与平面 所成角的正弦值为 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20.（本小题满分12分） 某贫困地区截至2016年底，按照农村家庭人均