专题07 反比例函数（知识点串讲）-2020-2021学年八年级数学下册期中期末考点大串讲（华东师大版）

专题07 反比例函数 知识框架 重难突破 一、反比例函数 1、反比例函数的定义 一般地,形如 (k为常数,k≠0)的函数称为反比例函数,其中x是自变量,y是函数,自变量x的取值范围是不等于0的一切实数,y的取值范围也是不等于0的一切实数,k叫做比例系数,另外,反比例函数的关系式也可写成y=kx-1的形式. y是x的反比例函数 (k≠0) xy=k(k≠0) 变量y与x成反比例,比例系数为k. 备注：(1)在反比例函数 (k≠0)的左边是函数y,右边是分母为自变量x的分式,也就是说,分母不能是多项式,只能是x的一次单项式,如 , 等都是反比例函数,但 就不是关于x的反比例函数. (2)反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数,因此可以写成y=kx-1或xy=k的形式. (3)反比例函数中,两个变量成反比例关系. 2、用待定系数法确定反比例函数的表达式 由于反比例函数 中只有一个待定系数,因此只要有一对对应的x,y值,或已知其图象上一点坐标,即可求出k,从而确定反比例函数的表达式. 其一般步骤: 设反比例函数关系式 (k≠0). 把已知条件(自变量和函数的对应值)代入关系式,得出关于k的方程. 解方程,求出待定系数k的值. 将待定系数k的值代回所设的关系式,即得所求的反比例函数关系式. 3、反比例函数图象的画法 反比例函数图象的画法是描点法,其步骤如下: (1)列表:自变量的限值应以0为中心点,沿0的两边取三对(或三对以上)相反数,分别计算y的值. (2)描点:先描出一侧,另一侧可根据中心对称的性质去找. (3)连线:按从左到右的顺序用平滑的曲线连接各点,双曲线的两个分支是断开的,延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势,但永远不能与坐标轴相交. 说明:在图象上注明函数的关系式. 备注：(1)反比例函数的图象是双曲线,它有两个分支,它的两个分支是断开的. (2)当k＞0时,两个分支位于第一、三象限；当k﹤0时，两个分支位于第二、四象限. (3)反比例函数 (k≠0)的图象的两个分支关于原点对称. (4)反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交，这是因为x≠0，y≠0. 4、反比例函数 (k≠0)的性质 (1)如图所示，反比例函数的图象是双曲线，反比例函数 的图象是由两支曲线组成的.当k＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内。它们关于原点对称，限图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形. (2)由反比例函数 的图象可知，当k＞0时，在每一象限内，y值随x的增大而减小；当k＜0时，在每一象限内，y值随x的增大而增大. (3)因为x≠0，所以图象与y轴不可能有交点，国此，不论x取值何值时，y的值永不为0，同理，图象与x轴也不可能有交点. 备注：(1)反比例函数图象的位置和函数的增减性都是由比例系数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在的位置或函数的增减性，也可以判断出k的符号. (2)反比例函数的增减性，只能在每个象限内讨论，当k＞0时，在每一象限(第一、三象限)y随着x的增大而减小，但不能笼统地说：当k＞0，y随着x的增大而减小.同样当k＜0时，也不能笼统地说：y随x的增大而增大. 5、正比例函数与反比例函数的区别与联系. 函数 正比例函数 反比例函数 关系式 y=kx(k≠0) (k≠0) 图象 过原点的直线 与坐标轴没有交点的双曲线 自变量的取值范围 全体实数 x≠0的全体实数 图象位置 当k＞0时，图象经过第一、三象限 当k＜0时，图象经过第二、四象限 当k＞0时，图象在第一、三象限 当k＜0时，图象在第二、四象限 性质 当k＞0时，y随x的增大而增大 当k＜0时，y随x的增大而减小 当k＞0时，在每一象限内，y随x的增大而减小 当k＜0时，在每一象限内，y随x的增大而增大 6、反比例函数表达式中k的几何意义 如图所示，过双曲线 上的任意一点P(x,y)作x轴、y轴的垂线PM，PN，垂足分别为M，N，所得矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|. 因为 ，所以xy=k，所以S=|xy|=|k|. 即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|. 已知反比例函数可求矩形面积，反之，已知矩形面积可求反比例函数. 例1．（2020·绵阳市富乐实验中学九年级期中）下列关系式中，y是x的反比例函数的是 (　　) A． B． C． D． 练习1．（2020·北京第二外国语学院成都附属中学九年级期中）下列函数是反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 例2．（2020·四川省内江市第六中学八年