专题18 解析几何解答题-2021年新高考数学模拟题分项汇编（第四期•4月）

专题18 解析几何解答题 1．（福建省名校联盟2021届高三大联考）椭圆 的离心率 ， 在 上. （1）求椭圆 的标准方程； （2） 设为短轴端点，过 作直线 交椭圆 于 两点(异于 )，直线 交于点 .求证：点 恒在一定直线上. 【答案】（1） ；（2）证明见解析. 【分析】 （1）由点在椭圆上以及 ，列出关于 的方程组，解出即可得出结果； （2）设出直线 ，联立直线与椭圆的方程结合韦达定理求出 的直线方程，联立求出交点纵坐标为3，进而可得结果. 【解析】（1）因为点 在C上，所以 ， 又 ， ，所以 ， ， 故所求椭圆C的方程为 . （2）由题意知直线l的斜率存在，设其方程为 . 设 ， ，( ， ). ， ， ，且有 . ( ， ) ， ， 故 EMBED Equation.DSMT4 故点T恒在一定直线 上. 2．（福建省漳州市2021届高三质检）已知直线 ： 与 轴交于点 ，且 ，其中 为坐标原点， 为抛物线 ： 的焦点. （1）求拋物线 的方程； （2）若直线 与抛物线 相交于 ， 两点( 在第一象限)，直线 ， 分别与抛物线相交于 ， 两点（ 在 的两侧），与 轴交于 ， 两点，且 为 中点，设直线 ， 的斜率分别为 ， ，求证： 为定值； （3）在（2）的条件下，求 的面积的取值范围. 【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3） . 【分析】 （1）先求出点 的坐标，进而求出点 的坐标，所以 ，可求得p，从而即可求出抛物线方程； （2）把直线和抛物线方程联立，解得 ， 的坐标，再通过设点 ， 的坐标，表示出 ， ，再代入求出定值即可； （3）先表示出直线 的方程，与抛物线联立，得到点 的坐标，代入公式可得点 到直线 的距离，再利用弦长公式求得 PB的长，从而表示出 的面积，再根据定点的切线方程求参数t的取值范围，进而确定面积的取值范围. 【解析】（1）由已知得 ，且 为 的中点，所以 . 所以 ，解得 ， 故抛物线 的方程为 . （2）证明：联立 ，解得 ， ， 由 为 的中点得 . 不妨设 ， ，其中 . 则 ， . 所以 ， 即 为定值. （3）由（2）可知直线 的方程为 ，即 ， 与抛物线联立 ，消 x可得 ， 解得 或 （舍）， 所以 ，即 ， 故点 到直线 的距离 . 设过点 的抛物线的切线方程为 ， 联立 得 ， 由 ，得 ， 所以切线方程为 ，令 ，得 ， 所以要使过 点的直线与抛物线有两个交点， ， 则有 ， 又 ， 所以 ， 即 ，故 的面积的取值范围为 . 3．（广东省广州市2021届高三一模）已知点 ，点 是圆 上的动点，线段 的垂直平分线与 相交于点 ，点 的轨迹为曲线 . （1）求 的方程 （2）过点 作倾斜角互补的两条直线 ，若直线 与曲线 交于 两点，直线 与圆 交于 两点，当 四点构成四边形，且四边形 的面积为 时，求直线 的方程. 【答案】（1） ；（2） 或 【分析】 （1）根据题意可得 ，进而判断点 的轨迹是以 为焦点的椭圆，即可求出轨迹方程； （2）可得 轴时和 轴时不符合题意，设 方程为 ，则直线 方程为 ，联立直线 与椭圆，表示出点 到直线 的距离，即可表示出四边形的面积，求出 ，得出直线方程. 【解析】（1） 在线段 的垂直平分线上， ， 又 在 上， ， 则可得点 的轨迹是以 为焦点的椭圆， 则 ，即 ， ， ， 故 的方程为 ； （2）若 轴时，如图，此时 ， ，则 ，不符合题意； 若 轴时，如图，此时 ， ，则 ，不符合题意； 当 都不与坐标轴垂直时，如图， 设 斜率分别为 ，由于 倾斜角互补，则 斜率为 ， 则直线 方程为 ，直线 方程为 ， 联立直线 与椭圆 ，可得 ， 设 ，则 ， ， 则点 到直线 的距离为 ， 同理可得点 到直线 的距离为 ， 则 ，解得 ， 故直线 的方程为 或 . 4．（广东省广州市2021届高三一模）已知函数 . （1）证明：曲线 在点 处的切线 恒过定点； （2）若 有两个零点 ，且 ，证明： . 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】 （1）求出函数在 处的导数，求出 ，即可求出切线方程，得出定点； （2）由题可得 ，可得 ，令 ，则 ，构造函数 ，二次求导得出 单调递增，即可求出 ，再利用基本不等式即可证明. 【解析】（1） ， 则 ，即切线斜率为 ， 又 ， 则切线 的方程为 ，即 ， 可得当 时， ，故切线 恒过定点 ； （2） EMBED Equation.DSMT4 是 的零点， ，且 ， 则 ，即 ， ，即 ， 令 ，则 ，则 ， 令 ，则 。 令 ，则 ，则 单调递增， ，即 ，则 单调递增， ， ，即 ，即 ， 则 （由于 ，故不取等号），得证. 5．（广东省汕头市