专题17 立体几何解答题-2021年新高考数学模拟题分项汇编（第四期•4月）

专题17 立体几何解答题 1．（福建省名校联盟2021届高三大联考）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形， ， ， ， ，点 是 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）线段 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，若存在，求出的 值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在， . 【分析】 （1）先证明 ，然后连接 ，利用题目所给的边长关系，根据勾股定理证明 ，然后根据线面垂直的判定定理即可得到 平面 ； （2）假设在线段 上存在一点 ，使得直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，设 ，然后以以点 为坐标原点， ， 分别为 轴， 轴，竖直向上为 轴，建立空间肖角坐标系，写出各点的坐标，得出向量 ，计算出平面 的法向量 ，使 与 所成角满足 ，然后求解 ，得出 的值. 【解析】解：（1）证明：连接 ，在 中，因为 ， ， ，所以 . 因为点 是 的中点，所以 . 在 中， ， ， ，由余弦定哩，有 ， 所以 ，所以 . 在 中， ， ， 满足 ， 所以 ，又 ， 所以 平面 . （2）如图，以点 为坐标原点，建立空间肖角坐标系，则 ， ， ，设 ， ， 在 中， ，而 ，得 ，所以 . 平面 的一个法向量为 ，直线 与平面 所成角为 . 因为 ， 所以 . 因为 . 所以 ， 得 ，所以 或 (舍)，所以 . 2．（福建省漳州市2021届高三质检）如图，四边形 为正方形， ， ， 为锐角三角形， ， 分别是边 ， 的中点，直线 与平面 所成的角为 . （1）求证： 平面 ； （2）若 为锐角三角形，求二面角 的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【分析】 （1）先证明 为直线 与平面 所成角，得到 为等边三角形，然后证明 ， ，进而证得 平面 ； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面 和平面 的一个法向量，再利用空间向量夹角公式求解二面角的余弦值即可. 【解析】解：（1）证明：∵ ， ， ， ∴ 平面 . ∴平面 平面 ，因为 为锐角三角形， ∴点 在平面 的射影在线段 上， ∴ 为直线 与平面 所成的角，即 . 又∵ ，∴ 为等边三角形. ∵点 为 的中点，∴ . 又 ， ，∴ 平面 . ∵ 平面 ，∴ . ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ . ∵ ， 平面 ， ∴ 平面 . （2）取 的中点为 ， 的中点为 ，连接 ， . ∵ 为等边三角形，∴ . ∵ 平面 ， 平面 ， ∴ . 又∵ ，∴ 平面 ， ∴ . ∵点 ， 分别为 和 的中点， ∴ ， ∴ 平面 ，∴ . ∴ ， ， 两两垂直， 故以点 为坐标原点，以 ， ， 所在直线分别为 轴､ 轴､ 轴建立如图所示空间直角坐标系. 设 ，则 ， ， ， ， ， ， ∴ ， ， 设平面 的法向量为 ， 则 ， ， ∴ ，解得 . 不妨设 ，则 . 由（1）可得 为平面 的一个法向量. 又∵ ， ∴ . 又∵二面角 的平面角为锐角， ∴二面角 的余弦值为 . 3．（广东省广州市2021届高三一模）在边长为2的菱形 中， ，点 是边 的中点（如图1），将 沿 折起到 的位置，连接 ，得到四棱锥 （如图2） （1）证明：平面 平面 ； （2）若 ，连接 ，求直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析，（2） . 【分析】 （1）连接图1中的 ，证明 ，然后证明 平面 即可； （2）证明 平面 ，然后以 为原点建立如图空间直角坐标系，然后利用向量求解即可. 【解析】（1）连接图1中的 ， 因为四边形 为菱形，且 所以 为等边三角形，所以 所以在图2中有 ，因为 所以 平面 ，因为 ，所以平面 平面 （2）因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 所以 平面 以 为原点建立如图空间直角坐标系 所以 所以 设平面 的法向量为 ，则 ， 令 ，则 ，所以 所以直线 与平面 所成角的正弦值 4．（广东省汕头市2021届高三一模）在 中，角 的对边分别为 ，已知： ． （1）求边 的长和三角形 的面积； （2）在边 上取一点D，使得 ，求 的值． 【答案】（1） ； ；（2） . 【分析】 （1）法一： 中，由余弦定理求 的长，应用三角形面积公式求 的面积；法二：过 作出高交 于 ，在所得直角三角形中应用勾股定理求 ，即可求 ，由三角形面积公式求 的面积； （2）由正弦定理、三角形的性质、同角三角函数的关系，法一：求 、 、 、 ，由 结合两角差正弦公式求值即可；法二：求 、 ，再由 结合两角和正切公式求值即可；法三：由（1）法二所作的高，直角△ 中求 ，进而求 ，再根据正弦定理及同角三角函数关系求值即可. 【解析】（1）法一：在 中，由 ， 由余弦定理， ，得 ，解得 或 （舍）， 所以 ， .