专题16 概率与统计解答题-2021年新高考数学模拟题分项汇编（第四期•4月）

专题16 概率与统计解答题 1．（福建省名校联盟2021届高三大联考）2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，自2021年1月1日起施行.《中华人民共和国民法典》被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第-部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法，为了增强学生的法律意识，了解法律知识，某校组织全校学生进行学习《中华人民共和国民法典》知识竞赛，从中随机抽取 名学生的成绩(单位：分)统计得到如下表格： 成绩 性别 男 女 规定成绩在 内的学生获优秀奖. （1）根据以上成绩统计，判断是否有 的把握认为该校学生在知识竞赛中获优秀奖与性别有关？ （2）在抽取的 名学生中，若从获优秀奖的学生中随机抽取 人进行座谈，记 为抽到获优秀奖的女生人数，求 的分布列和数学期望. 附： 【答案】（1）有 的把握认为该校学生在知识竞赛中获优秀奖与性别无关；（2）分布列答案见解析，数学期望： . 【分析】 （1）依题意完善列联表，计算 ，再与观测值比较即可判断； （2）依题意得 的所有可能取值为 ，求出所对应的概率，列出分布列，求出数学期望； 【解析】解：（1）依题意得，列联表如下： 是否获奖 性别 获优秀奖 未获优秀奖 合计 男 女 假设 ：“该校学生在知识竞赛中获优秀奖与性别无关”. 当 成立时， . 将列联表中的数据代入公式，计算得 因为 .所以小概率事件未发生.从而接受假设 . 所以在犯错误的概率不超过 的前提下可以推断该校学生在知识竞赛中获优秀奖与性别无关，即有 的把握认为该校学生在知识竞赛中获优秀奖与性别无关. （2）依题意得， 的所有可能取值为 ， . 所以 的分布列为 的数学期望为 . 2．（福建省漳州市2021届高三质检）为迎接2020年国庆节的到来，某电视台举办爱国知识问答竞赛，每个人随机抽取五个问题依次回答，回答每个问题相互独立.若答对一题可以上升两个等级，回答错误可以上升一个等级，最后看哪位选手的等级高即可获胜.甲答对每个问题的概率为 ，答错的概率为 . （1）若甲回答完5个问题后，甲上的台阶等级数为 ，求 的分布列及数学期望； （2）若甲在回答过程中出现在第 个等级的概率为 ，证明： 为等比数列. 【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望： ；（2）证明见解析. 【分析】 （1）首先确定 的所有可能取值 ，根据概率公式分别求出对应发生的概率，列出分布列，即可求出数学期望； （2）根据已知的关系，求出 与 ， 的关系式 ，再通过化简和等比数列的定义求解即可. 【解析】解：（1）依题意可得， ， ， ， ， ， ， ， 则 的分布列如表所示. 5 6 7 8 9 10 . （2）处于第 个等级有两种情况： 由第 等级到第 等级，其概率为 ； 由第 等级到第 等级，其概率为 ； 所以 ，所以 ， 即 . 所以数列 为等比数列. 3．（广东省广州市2021届高三一模）某中学举行篮球趣味投篮比赛，比赛规则如下：每位选手各投5个球，每一个球可以选择在 区投篮也可以选择在 区投篮，在 区每投进一球得2分，投不进球得0分；在 区每投进一球得3分，投不进球得0分，得分高的选手胜出.已知参赛选手甲在 区和 区每次投篮进球的概率分别为 和 ，且各次投篮的结果互不影响. （1）若甲投篮得分的期望值不低于7分，则甲选择在 区投篮的球数最多是多少个？ （2）若甲在 区投3个球且在 区投2个球，求甲在 区投篮得分高于在 区投篮得分的概率. 【答案】（1）3；（2） 【分析】 （1）先求出甲在 区和在B区投一次得分的期望，设在 区投 次，计算出总的期望，列出不等式可求； （2）可得甲在 区投篮得分高于在 区投篮得分的情况有5种情况，分别求出概率，相加即可得出. 【解析】（1）甲在 区进球的概率为 ，投进一球得2分，则在 区投一次得分的期望为 ， 同理在B区投一次得分的期望为 ， 设在 区投 次，在B区投 次， 则总的期望值 ，解得 ， 则甲选择在 区投篮的球数最多是3个； （2）由题可得甲在 区投3个球，得分可能是0，2，4，6，在 区投2个球，得分可能是0，3，6， 则甲在 区投篮得分高于在 区投篮得分的情况有： A区2分B区0分，概率为 ， A区4分B区0分，概率为 ， A区4分B区3分，概率为 ， A区6分B区0分，概率为 ， A区6分B区3分，概率为 ， 则甲在 区投篮得分高于在 区投篮得分的概率为 . 4．（广东省汕头市2021届高三一模）为确保我国