专题15 三角函数与解三角形解答题-2021年新高考数学模拟题分项汇编（第四期•4月）

专题15 三角函数与解三角形解答题 1．（福建省名校联盟2021届高三大联考）在① ，② ，③ 三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解决该问题. 问题：已知 的内角 及其对边 ，若 ，且满足___________.求 的面积的最大值(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 【答案】条件选择见解析；最大值为 . 【分析】 分别选择条件①②③，利用正弦定理和余弦定理，化简得到 ，再由余弦定理得 ，进而求得 ，利用面积公式求得 ，即可求解. 【解析】选择条件①：因为 ，所以 ， 根据正弦定理可得 ， 由余弦定理得： ， 又由 ，可得 ， 根据余弦定理得 ， 则 ， 所以 ， 所以当且仅当 时， 面积取得最大值，最大值为 . 选择条件②：因为 ， 由余弦定理得 ， 所以 ， ， 所以当且仅当 时， 面积取得最大值，最大值为 . 选择条件③：因为 ， 由余弦定理得： ， 因为 ，可得 ， 又由余弦定理得： ， 所以 ， ， 所以当且仅当 时， 面积取得最大值，最大值为 . 2．（福建省漳州市2021届高三质检） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 . （1）若 ，求 面积的最大值； （2）若 为 边上一点， ， ，且 ，求 . 【答案】（1）最大值为 ；（2） . 【分析】 （1）根据正弦定理求出角 ，再根据余弦定理及基本不等式求出 的最大值，即可确定三角形的面积的最大值；（2）首先求出 ，再求出 ，再在 中利用正弦定理即可求出 的长. 【解析】（1）根据 及正弦定理，可得 ， 即 ， 可得 . ， . ， . 根据余弦定理可得 ， ，当且仅当 时等号成立， 的面积为 ， 的面积的最大值为 . （2）由 可得 ， ， ， . 在 中，利用正弦定理可得 ， 即 ，解得 . 3．（广东省广州市2021届高三一模）已知 的内角 的对边分别为 ，且 ， . （1）求 ； （2）求 的周长. 【答案】（1） ；（2）9． 【分析】 （1）应用二倍角公式和诱导公式变形已知等式可求得 ； （2）由正弦定理化角为边，然后再结合余弦定理可求得 ，从而得三角形周长． 【解析】（1）因为 ，所以 ， ， 因为 ，所以 ， ； （2）因为 .所以 ， 又 ，即 ， ，所以 ， ， 所以 ． 4．（广东省深圳市2021届高三一模） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为锐角， . （1）求A； （2）若 ，且 边上的高为 ，求 的面积. 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】 （1）先用余弦定理化余弦为边，再用正弦定理化边为角从而求得 ； （2）由余弦定理用 表示 ，然后把三角形的面积用两种方法表示求得 ，从而可计算出面积． 【解析】（1）由 得 ， 由余弦定理得 ，所以 ， 由正弦定理得 ， 是三角形内角， ， 所以 ，又A为锐角，所以 ． （2）由（1） EMBED Equation.DSMT4 ， ， 所以 ，即 ， ， ， ． 5．（广东省实验中学2021届高三模拟）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 . （1）求C； （2）若 ， 的面积为 ，求c. 【答案】（1） ；（2）2. 【分析】 （1）由正弦定理化为 ，再求余弦定理求解 ，即可求解； （2）由余弦定理可化为 ，再结合三角形面积公式求解 ，即可得 . 【解析】解：（1）由 ，得 . 由正弦定理，得 ，即 ，于是得 . 又 ， ； （2）由余弦定理，得 (*) 的面积 ， . 将上式代入(*)式，得 . . 6．（广东省湛江市2021届高三一模）如图，在平面四边形ABCD中，AD⊥CD， ∠BAD= ，2AB=BD=4. （1）求cos∠ADB； （2）若BC= ，求CD. 【答案】（1） ；（2） 【分析】 （1） 中，利用正弦定理可得 ，进而得出答案； （2） 中，利用余弦定理可得 ． 【解析】（1） 中， ，即 ，解得 ，故 ； （2） 中， ，即 ， 化简得 ，解得 ． 7．（广东省肇庆市2021届高三二模）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 . （1）求角 ； （2）若 ， ，求 的面积. 【答案】（1） ；（2） . 【分析】 （1）由正弦定理化角为边，然后由余弦定理可得 角； （2）利用余弦定理和已知 可求得 ，从而得三角形面积． 【解析】（1）由正弦定理，得 ， ， ， 又 ，所以 . 由余弦定理，得 ， 故 . 又 ，所以 . （2）由余弦定理，得 . 联立方程组，得 ， 化简，得 ， 解得 ， 所以 的面积 . 8．（广东省执信中学2021届高三模拟）在① ，② ，③ .这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出△ 的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在