专题14 数列解答题-2021年新高考数学模拟题分项汇编（第四期•4月）

专题14 数列解答题 1．（福建省名校联盟2021届高三大联考）已知 为等差数列， 为等比数列， 的前 项和为 ，且 ， ， （1）求数列 ， 的通项公式； （2）设 ， 为数列 的前 项和，求 . 【答案】（1） ， ；（2） . 【分析】 （1）等差数列的公差为 ，等比数列的公比为 ，根据题目条件列出关于 和 的方程组求解出 和 ，从而得出数列 ， 的通项公式； （2）将（1）中所解得的 ， 的通项公式代入 中，然后利用错位相减法求其前 项和. 【解析】解：（1）设等差数列的公差为 ，等比数列的公比为 ， 所以 . ，解得 或 (舍去) 则 ， . （2）因为 所以 ① ① 得， ② ① -②得， 故 . 2．（福建省漳州市2021届高三质检）已知各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，且 ， . （1）若等差数列 满足 ，求 ， 的通项公式； （2）若 ___________，求数列 的前 项和 . 在① ；② ；③ 这三个条件中任选一个补充到第（2）问中，并对其求解. 注：如果选择多个条件分别求解，按第一个解答计分. 【答案】（1） ， ；（2）答案见解析. 【分析】 （1）利用等比数列的通项公式与求和公式求出 和 ，得到数列 的通项公式，再求出对应等差数列 的前两项和公差，即可得数列 的通项公式；（2）根据已知条件进行整理，得出数列 的通项公式，进而利用裂项相消法即可求解. 【解析】（1）设数列 的公比为 ，则 . ， ，解得： 或 ， 又因为各项均为正数， 所以 ， 又 ， ， 代入 得 ， ， ， 则 ， ， 设数列 的公差为 ， ∴ ， 则 . （2）选择①： ， ， 则 ， EMBED Equation.DSMT4 . 选择②： ， ， 则 ， ， . 选择③： 由（1）知 ， . ， EMBED Equation.DSMT4 . 3．（广东省广州市2021届高三一模）已知等差数列 的前 项和为 ，公差 ， 是 的等比中项， . （1）求 的通项公式； （2）若数列 满足 ，求 . 【答案】（1） ；（2） . 【分析】 （1）直接用等差数列的基本量解方程即可； （2）先算出 ，然后运用累加法即可获解. 【解析】（1） 是 的等比中项 解得 （舍去） （2） 据题意 两式相减得 所以有 以上9个式子相加得 4．（广东省汕头市2021届高三一模）已知等比数列 的前 项和为 ，给出条件： ① ；② ，且 ．若___________________，请在这两个条件中选一个填入上面的横线上并解答. （1）求 的值及数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 ． 【答案】条件选择见解析：（1） ， ；（2） . 【分析】 （1）选条件①：方法一：令 可得出 ，令 ，由 得 ，两式作差得出 ，再由 满足 可求得 的值，据此可得出数列 的通项公式； 方法二：分别求得 、 、 ，求得等比数列 的公比 ，可求得 ，再由 满足 在 时的表达式可求得 的值，据此可得出数列 的通项公式； 选条件②：方法一：令 ，由 得出 ，两式作差可得出 ，结合已知条件可知数列 是公比为 的等比数列，结合等比数列的通项公式可求得 的通项公式，再由 得出 ，可求得 的值； 方法二：令 可得出 ，令 可得出 ，可知数列 是公比为 的等比数列，求出数列 的通项公式，再由 可求得实数 的值； （2）求得 ，利用裂项相消法可求得 . 【解析】（1）选条件①， 方法一：当 时， ； 当 时，由 得 ， . 因为数列 是等比数列，所以 ，即 ， 所以数列 的通项公式为 ， ； 方法二：当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 所以，等比数列 的公比为 ，当 时， . 满足 ，则 ，解得 . 所以 ， ； 选条件②， 方法一：当 时，由 可得 ， 两式相减得 ，即 ， 因为数列 是等比数列，且 ， 所以数列 的通项公式为 ， ， 又当 时， ，解得 ； 方法二：当 时， ， 当 时， ， ， 所以，等比数列 的公比为 ，且 ， . 所以 ，解得 ； （2）由（1）可知， ，即 因此， . 5．（广东省深圳市2021届高三一模）设数列 的前n项和 ，满足 ，且 . （1）证明：数列 为等差数列； （2）求 的通项公式. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】 （1）将 两边同时取倒数在整理，根据等差数列的定义即可证明； （2）由（1）求出 ，进而可得 ，当 时， ，再检验 是否满足 EMBED Equation.DSMT4 ，进而可得 的通项公式. 【解析】（1）由 可得 ， 即 ， 所以 是以 为首项，以 为公差的等差数列， （2）由（1）可得 ，即 ， 当 时， ， 当 时 ，所以 不满足 ， 所以 ， 6．（广东省实验中学2