专题13 函数与导数综合-2021年新高考数学模拟题分项汇编（第四期•4月）

专题13 函数与导数综合 1．（福建省名校联盟2021届高三大联考）已知函数 . （1）若 轴为曲线 的切线，试求实数 的值； （2）已知 ，若对任意实数 ，均有 ，求 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） 【分析】 （1）假设 与x轴相切于 ，则只需满足 ，然后求解出 的值即可； （2）函数 ，令 ，利用导数可讨论得出 ，若令 ，则 ， 故 ，要使 ，则只需满足 在 恒成立即可，则 ( 时， ，能同时取等号).即 即可，解得 . 【解析】解：（1）解：由 ， 设曲线 与x轴相切于 ，则 ， . 所以 ，代入整理得 ， 由 ， ，∴ ，此时 . 经检验，当 时，x轴为曲线 的切线. （2）由 ，记 ， 时， ； 时， ， 故 在 上单调递减，在 上单调递增. 所以 不妨设 ( )，则 因为 时，要满足 恒成立， 则 ( 时， ，能同时取等号). 即 即可，解得 . 综上， 时符合题意. 2．（福建省漳州市2021届高三质检）已知函数 ， . （1）求函数 的极值点； （2）若关于 的方程 至少有两个不相等的实根，求 的最大值. 【答案】（1）极大值点为 ，不存在极小值点；（2）最大值为 . 【分析】 （1）对函数求导，根据导函数正负判断函数的单调性，确定函数的极值点即可； （2）根据 ，可以分离出参数得 ，故构造新函数 ，求导确定新函数的最值，进而确定参数 的最大值. 【解析】解：（1）函数 的定义域为 . EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . 令 ，得 或 (舍). 当 时， ，∴ 单调递增； 当 时， ，∴ 单调递减，则当 时，函数 取得极大值， 故函数 的极大值点为 ，不存在极小值点. （2）由 可得 ， ∴ . 设 ，则 . 令 . 则 ，令 ，可得 或 (舍). 所以 在 上， ， 单调递减； 在 上， ， 单调递增， 所以函数 的最小值为 . 又 ，所以当 时， ， 又当 时， ， 因此必存在唯一 ，使得 ， 当 变化时， ， ， 的变化情况如表： 1 + 0 - 0 + + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 当 时， 有极大值 ， 当 时， 有极小值 . 又 ， ，且当 时， ， 所以 ，可得 时，直线 与函数 至少有两个交点，所以 的最大值为 . 3．（广东省汕头市2021届高三一模）已知函数 有两个相异零点 ． （1）求a的取值范围． （2）求证： ． 【答案】（1） ；（2）证明见解析. 【分析】 （1）求出导函数 ，由 确定单调性，然后结合零点存在定理求出参数范围； （2）由（1）不妨设 ，首先把多个变量 ， 的不等式 变形为 ，构造函数 ，确定单调性后证得 ，这样利用 在 是递增，要证原不等式只要证 ，即证 ，构造函数 ，利用导数证明此不等式成立． 【解析】解：（1） 当 时， 单调递减； 当 时， 单调递增； 由 得， 当 时， ， 所以 使得f 使得 ， 综上： （2）由（1）可知， ， 要证 即证 构造函数 ，则 所以 在 单调递减， ． 故有 因为 在 上单调递增， 所以只需证 即证 构造函数 ， 下面证 在 时恒成立 即证 构造函数 在 时恒成立 因此 在 上单调递增，从而 ， 在 时恒成立 在 时单调递增 成立，即 成立． 4．（广东省深圳市2021届高三一模）已知函数 ， . （1）讨论函数 的单调性； （2）若函数 有且仅有3个零点，求a的取值范围.（其中常数 …，是自然对数的底数） 【答案】（1）见解析（2） 【分析】 （1）先求导，需要分类讨论，分当a≤0时，当0＜a＜1时，当a＝1时，当a＞1时，根据导数和函数的单调性求出即可. （2）将问题转化为 与 的图像有三个交点，借助第一问的单调性得到极值，在每一类情况下通过构造函数解不等式，求得a的范围，取交集即可． 【解析】因为 ，其定义域为 ， 则 ，且 ， ①若a≤0，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，即函数f（x）在（0，1）单调递增， 当x＞1时，f′（x）＜0，函数f（x）在（1，+∞）单调递减， ②当0＜a＜1时，令f′（x）＝0，解得x＝1，或x＝a， 当a＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增， 当x＞1或0＜x＜a时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减， 所以f（x）在（a，1）上单调递增，在（0，a），（1，+∞）单调递减； ③当a＝1时，f′（x） 0恒成立，即函数f（x）在（0，+∞）单调递减； ④当a＞1时，当1＜x＜a时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增， 当x＞a或0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减， 所以f（x）在（1，a