专题11 二项式定理-2021年新高考数学模拟题分项汇编（第四期•4月）

专题11 二项式定理 1．（湖南省永州市2021届高三二模）关于多项式 的展开式，下列结论正确的是（ ） A．各项系数之和为1 B．二项式系数之和为 C．存在常数项 D． 的系数为12 【答案】ABC 【分析】 对A，令 可得；对B，由 可判断；对C，求出通项公式，令 的指数为0，求解可判断；对D，令 的指数为4可求出. 【解析】对于A，令 ，则可得各项系数之和为 ，故A正确； 对于B，二项式系数之和为 ，故B正确； 对于C， 的展开式的通项公式为 ，令 ，解得 ，即常数项为第四项，故C正确； 对于D， ，令 ，解得 ，则 的系数为 ，故D错误. 故选：ABC. 2．（湖北省十一校2021届高三联考）已知等差数列 的第5项是 展开式中的常数项，则 （ ） A．20 B． C．40 D． 【答案】D 【分析】 根据二项式定理求得 展开式中的常数项，然后由等差数列的性质可得结论． 【解析】由二项式定理， 展开式中的常数项是 ， 即 ，因为 是等差数列，所以 ． 故选：D． 3．（湖北省武汉市2021届高三质检）已知正整数 ，若 的展开式中不含 的项，则 的值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】 利用二项式定理展开求系数即可. 【解析】 的展开式的通项为 中 的系数为 中 的系数为 故 的展开式中 的项系数为 故 故 故选：B 4．（广东省实验中学2021届高三模拟）已知 展开式中各项的系数之和为-512，则该展开式中二项式系数最大的项可以是（ ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 【答案】BC 【分析】 先根据展开式中各项的系数之和求得n，再确定展开式中二项式系数的最大值，即得对应的项. 【解析】令 ，得各项的系数之和 ，解得 ，即 ，所以该展开式中二项式系数最大为 和 ，故二项式系数最大的项是第5项或第6项. 故选：BC. 5．（广东省湛江市2021届高三一模）已知(1-2x)2021=ao+a1x+a2x2+a3x3+…+a2021x2021.（ ） A．展开式中所有项的二项式系数和为22021 B．展开式中所有奇次项系数和为 C．展开式中所有偶次项系数和为 D． 【答案】ABD 【分析】 由二项式系数之和，当 ， ① 当 ， ②，由①+②，①-②；令 ，则 ，令 ，则 ，即可得结果. 【解析】A .二项式系数之和为 ，故A正确； B. 当 ， ① 当 ， ② ①+②，可得当 ，故B正确； C.①-② ，故C错误； D. 令 ，则 令 ，则 ，故D正确 故答案为：ABD 6．（广东省肇庆市2021届高三二模）二项式 的展开式的常数项为60，则 的值为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】 先求出二项式展开式的通项公式，再求出常数项，由常数项为60，列方程可求出 的值 【解析】 ，令 ，所以 . 令 EMBED Equation.DSMT4 ，解得 ， 故选：C. 7．（湖北省荆门2021届高三联考）若 的展开式中 的系数为7，则展开式的常数项为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据二项展开式，得出第 项，再求得 ，再利用展开式可求得常数项. 【解析】 的二项展开式中的第 项为 ， 令 ，解得 ，所以 的系数为 7，解得 ， 所以 的二项展开式中的第 项为 ， 令 ，解得 ，所以展开式的常数项为 ， 故选：A. 8．（辽宁省丹东市五校2021届高三联考）对于二项式 ，以下判断正确的有（ ） A．存在 ，展开式中有常数项； B．对任意 ，展开式中没有常数项； C．对任意 ，展开式中没有 的一次项； D．存在 ，展开式中有 的一次项. 【答案】AD 【分析】 利用展开式的通项公式依次对选项进行分析，得到答案． 【解析】设二项式 展开式的通项公式为 ， 则 ， 不妨令 ，则 时，展开式中有常数项，故答案A正确，答案B错误； 令 ，则 时，展开式中有 的一次项，故C答案错误，D答案正确． 故答案选AD 9．（辽宁省丹东市2021届高三质量监测） 展开式中含有 项的系数为______. 【答案】 【分析】 由 ，结合二项展开式，即可求得展开式中含有 的系数. 【解析】由题意得 ， 又由 的通项为 ， 的通项为 ， 所以 展开式中 的系数为： . 故答案为： 10．（湖北省七市教研协作体2021届高三联考）二项式 的展开式中，x的系数为270，则： （1） _____， （2）该二项式展开式中所有项的系数和为_____． 【答案】3 32 【分析】 （1）由题意利用通项公式，求得 的系数，再根据 的系数为270，求得 的值． （2）令 ，可得二项式 的展开式中所有项的系数和． 【解析】解：二项式