专题08 数列-2021年新高考数学模拟题分项汇编（第四期•4月）

专题08 数列 1．（福建省漳州市2021届高三质检）在数列 中， 和 是关于 的一元二次方程 的两个根，下列说法正确的是（ ） A．实数 的取值范围是 或 B．若数列 为等差数列，则数列 的前7项和为 C．若数列 为等比数列且 ，则 D．若数列 为等比数列且 ，则 的最小值为4 【答案】AD 【分析】 对A，由判别式即可判断；对B，先利用韦达定理得出 ，再利用等差数列的性质以及前 项和公式即可求解；对C，先利用韦达定理得到 ，再根据等比数列的性质即可求解；对D，利用基本不等式即可求出 的最小值. 【解析】解：对A， 有两个根， ， 解得： 或 ，故A正确； 对B，若数列 为等差数列， 和 是关于 的一元二次方程 的两个根， ， 则 ，故B错误； 对C，若数列 为等比数列且 ，由韦达定理得： ， 可得： ， ， ， 由等比数列的性质得： ， 即 ，故C错误； 对D，由C可知： ，且 ， ， ，当且仅当 时，等号成立，故D正确. 故选AD. 2．（广东省广州市2021届高三一模）在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第 次得到数列1， ，2；…记 ，数列 的前 项为 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】 根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可. 【解析】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时 第2次得到数列1,4,3,5,2，此时 第3次得到数列1, 5,4,7,3,8,5,7,2，此时 第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时 第 次得到数列1， ，2 此时 所以 ，故A项正确； 结合A项中列出的数列可得： 用等比数列求和可得 则 EMBED Equation.DSMT4 又 EMBED Equation.DSMT4 所以 ，故B项正确； 由B项分析可知 即 ，故C项错误. EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，故D项正确. 故选：ABD. 3．（广东省汕头市2021届高三一模）在正项等比数列 中， ， ，则数列 的通项公式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 求出 的值，进而可求得等比数列 的公比 ，结合等比数列的通项公式可求得数列 的通项公式. 【解析】设等比数列 的公比为 ，由题意可知，对任意的 ， ， ， 由等比中项的性质可得 ，解得 ， 所以， ，整理可得 ， ，解得 ，因此， . 故选：A. 4．（广东省深圳市2021届高三一模）在数列 中， ， ，若 ，则 （ ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】 令 ，由 可得 ，可得 是等差数列，利用等差数列求和公式即可求解. 【解析】令 ，由 可得 ， 所以 ， 所以 是首项为 ，公差为 的等差数列， ， 所以 ， 整理可得： ， 解得： 或 （舍） 故选：B. 5．（广东省实验中学2021届高三模拟）已知 为等差数列 的前n项和，且 ， ， ，记数列 的前n项和为 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】 先列方程求解等差数列的基本量 ，得到 ，即得 ， ，再利用裂项相消法求和即得 ，利用结果逐一判断选项正误即可. 【解析】解：依题意 ， ，则 ，解得 ， 故 ， ，故A错误，B正确； 又 ， ，故C错误，D正确. 故选：BD 6．（广东省执信中学2021届高三模拟）古希腊时期，人们把宽与长之比为 的矩形称为黄金矩形，把这个比值 称为黄金分割比例.下图为希腊的一古建筑，其中图中的矩形 ， ， ， ， ， 均为黄金矩形，若 与 间的距离超过 ， 与 间的距离小于 ，则该古建筑中 与 间的距离可能是（ ）. （参考数据： ， ， ， ， ， ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据黄金矩形的定义，先设出 ，逐步计算得到 ，再由已知条件得到关于 的不等式组，求解即可. 【解析】解：设 ， ，因为矩形 ， ， ， ， ， 均为黄金矩形，所以有 ， ， ， ， ， .由题设得 ，解得： . 故选： . 7．（湖北省荆门2021届高三联考）《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问小满日影长为（ ）（1丈＝10 尺＝100寸） A．