专题05 平面解析几何-2021年新高考数学模拟题分项汇编（第四期•4月）

专题05 平面解析几何 1．（福建省名校联盟2021届高三大联考）一些二次曲面常常用于现代建筑的设计中，常用的二次曲面有球面､椭球面､单叶双曲面和双曲抛物面､比如，中心在原点的椭球面的方程为 ，中国国家大剧院就用到了椭球面的形状(如图 )，若某建筑准备采用半椭球面设计(如图 )，半椭球面方程为 ，该建筑设计图纸的比例(长度比)为 (单位： )，则该建筑的占地面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 令 ，得到 平面上的曲线方程为 ，为一个圆，求出面积即可求解. 【解析】解析：求占地面积即求半椭球面的底面积，令 可得 ； 令 可得 ， 所以该半椭球面的底面是一个半径为 的圆，建筑时选的半径为 米则建筑的占地面积为 平方米. 故选：D 2．（福建省名校联盟2021届高三大联考）已知直线 与双曲线 无公共点，则双曲线离心率可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】 比较 与渐近线的斜率，可得出 的范围，根据范围求解离心率范围得出答案. 【解析】解析：双曲线的一条渐近线为 ，因为直线 与双曲线无公共点，故有 . 即 ， 所以 ， 所以 . 故选：BC. 3．（福建省漳州市2021届高三质检）已知双曲线 ： 的一条渐近线的方程为 ，且过点 ，椭圆 ： 的焦距与双曲线 的焦距相同，且椭圆 的左､右焦点分别为 ， ，过点 的直线交 于 ， 两点，若点 ，则下列说法中正确的有（ ） A．双曲线 的离心率为2 B．双曲线 的实轴长为 C．点 的横坐标的取值范围为 D．点 的横坐标的取值范围为 【答案】AD 【分析】 通过计算求出双曲线 的离心率和实轴长，即可判断选项A和B的正误；联立直线 和椭圆的方程求出 ，即得点 的横坐标的取值范围，即可判断选项C和D的正误. 【解析】双曲线 ： 的一条渐近线的方程为 ，则可设双曲线 的方程为 ，∵过点 ，∴ ，解得 ，∴双曲线 的方程为 ，即 ，可知双曲线 的离心率 ，实轴的长为1，故选项A正确，选项B错误； 由 可知椭圆 ： 的焦点 ， ，不妨设 ，代入 得 ，∴ ， 直线 的方程为 ， 联立 ，消去 并整理得 ，根据韦达定理可得 ，可得 .又 ，∴ ， ，∴ ，故选项C错误，选项D正确. 故选：AD. 4．（广东省广州市2021届高三一模）已知点 为坐标原点，直线 与抛物线 相交于 两点，则（ ） A． B． C． 的面积为 D．线段 的中点到直线 的距离为2 【答案】AC 【分析】 先判断直线过焦点，联立方程组 结合韦达定理得两根关系，再根据选项一一判断即可． 【解析】设 ，抛物线 ，则 ，焦点为 ，则直线 过焦点； 联立方程组 消去 得 ， 则 ， 所以 ，故A正确； 由 ，所以 与 不垂直，B错； 原点到直线 的距离为 ，所以 的面积为 ，则C正确； 因为线段 的中点到直线 的距离为 ，故D错 故选：AC 5．（广东省广州市2021届高三一模）已知圆 与双曲线 的两条渐近线相交于四个点，按顺时针排列依次记为 ，且 ，则 的离心率为_______. 【答案】 【分析】 由对称性知 关于 轴对称， 关于 轴对称，设 得渐近线方程，设 ， ，由 可得 ，渐近线方程与圆方程联立消元后由韦达定理得 ，结合 可求得 ，从而可得离心率． 【解析】设 ，渐近线方程是 ，如图，由对称性可设 ， ， ， ， 则 ， ，所以 ， ①， 由 ，得 ， ②， ③， ①代入②得 ， ，代入③得 ，解得 ， 所以 ． 故答案为： ． 6．（广东省汕头市2021届高三一模）已知双曲线 的左、右两个焦点分别为 ，直线 与C交于 两点， 轴，垂足为E，直线 与C的另一个交点为P，则下列结论正确的是（ ） A．四边形 为平行四边形 B． C．直线 的斜率为 D． 【答案】AC 【分析】 利用 关于原点对称，可判断A，利用 趋近于0时 点的位置，得出 大于 ，从而判断B．设 ，计算斜率 可判断C，由三角形外角定理得 ，从而可判断D． 【解析】双曲线 关于原点对称，又直线 过原点，所以 关于原点对称， 由 得四边形 为平行四边形，A正确； 当 ， 点趋近于右顶点，此时 趋近于平角，因此不可能有 ，B错． 设 ，则 ，由 轴知 ， ， 而 ，C正确； 中， ，因此 ，D错； 故选：AC． 7．（广东省深圳市2021届高三一模）设 、 分别是双曲线 的左、右焦点，且 ，则下列结论正确的有（ ） A． B．当 时，C的离心率是2 C． 到渐近线的距离随着n的增大而减小 D．当 时，C的实轴长是虚轴长的两倍 【答案】AC 【分析】 由已知条件值 ，根据 ， ， ，可计算 的值，进而可判断选项A；直接计算 可判断选项B；计算 到渐近线的距离用 表示，即可判断选项