专题04 立体几何-2021年新高考数学模拟题分项汇编（第四期•4月）

专题04 立体几何 1．（福建省名校联盟2021届高三大联考）如图所示，在棱长为 的正方体 中，过对角线 的一个平面交棱 于点 ，交棱 于点 ，得四边形 ，在以下结论中，正确的是（ ） A．四边形 有可能是梯形 B．四边形 在底面 内的投影一定是正方形 C．四边形 有可能垂直于平面 D．四边形 面积的最小值为 【答案】BCD 【分析】 四边形 有两组对边分别平行知是一个平行四边形四边形； 在底面 内的投影是四边形 ；当与两条棱上的交点是中点时，四边形 垂直于面 ；当 ， 分别是两条棱的中点时，四边形 的面积最小为 . 【解析】过 作平面与正方体 的截面为四边形 ， 如图所示，因为平面 平面 ，且平面 平面 . 平面 平面 ，因此，同理 ， 故四边形 为平行四边形，因此A错误； 对于选项B，四边形 在底面 内的投影一定是正方形 ，因此B正确； 对于选项C，当点 分别为 的中点时， 平面 ，又 平面 ，则平面 平面 ，因此C正确； 对于选项D，当 点到线段 的距离最小时，此时平行四边形 的面积最小，此时点 分别为 的中点，此时最小值为 ，因此D正确. 故选：BCD 2．（福建省漳州市2021届高三质检）已知 ，则直线 ： 和直线 ： 的位置关系为（ ） A．垂直或平行 B．垂直或相交 C．平行或相交 D．垂直或重合 【答案】D 【分析】 因为 ，所以 或 ；当 时， 则直线垂直，当 时，两直线重合. 【解析】因为 ，所以 或 .当 时， ： ， ： ， ， 所以 ，则两直线垂直；当 时， ： ， ： ，则两直线重合. 故选：D 3．（福建省漳州市2021届高三质检）已知在正三棱锥 中， ， ，点 为 的中点，下面结论正确的有（ ） A． B．平面 平面 C． 与平面 所成的角的余弦值为 D．三棱锥 的外接球的半径为 【答案】AB 【分析】 连接 ， ，证得 平面 ，平面 平面 ，可判断AB，由面面垂直得 为 与平面 所成的角，计算可判断C，取 的重心为 ，连接 ，设外接球的球心为 ， 在 上，半径为 ，连接 ，利用勾股定理求得 后判断D． 【解析】如图，连接 ， ，易得 ， ，∵ ，∴ 平面 ，∵ 平面 ，∴平面 平面 ，同样∵ 平面 ，∴ ，同理 ，故选项A，B正确； 由平面 平面 知 为 与平面 所成的角.在 中， ， ，根据余弦定理得 ，故选项C错误； 取 的重心为 ，连接 ，设外接球的球心为 ，半径为 ，连接 ， ，在 中，可得 ，解得 ，故选项D错误， 故选：AB. 4．（广东省广州市2021届高三一模）已知正方体 的棱长为4， 是棱 上的一条线段，且 ，点 是棱 的中点，点 是棱 上的动点，则下面结论中正确的是（ ） A． 与 一定不垂直 B．二面角 的正弦值是 C． 的面积是 D．点 到平面 的距离是常量 【答案】BCD 【分析】 对A，当 与 重合时不满足；对B，可得 即为二面角 的平面角，求出即可；对C，可得 即为三角形的高，求出面积即可判断；对D，由 平面 可判断. 【解析】对A，当 与 重合时， ，故A错误； 对B，由于 是棱 上的动点， 是棱 上的一条线段，故平面 也是平面 ， 平面 ，则 ,则 即为二面角 的平面角， ，则 ，则 ，故B正确； 对C，由于 是棱 上的动点， 是棱 上的一条线段，且 ，则 的距离即为三角形的高， 平面 ， ，则 即为三角形的高， ，故C正确； 对D，由于 是棱 上的动点， 是棱 上的一条线段， ，则 平面 ，则点 到平面 的距离为常量，故D正确. 故选：BCD. 5．（广东省汕头市2021届高三一模）斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数： ，…为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为 的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．自然界存在很多斐波拉契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等．右图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面则该圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据斐波那契数得接下来的一段圆弧的半径为8，然后根据圆锥侧面展开图计算出圆锥的底面半径和高，从而可得体积， 【解析】根据已知可得所求扇形半径为 ，即圆锥母线长为 ， 设圆锥底面半径为 ，则 ， ， 圆锥的高为 ， 所以圆锥体积为 ． 故选：A． 6．（广东省汕头市2021届高三一模）在三棱锥 中， 是边长为 的等边三角形， 是以 为斜边的直角三角形，二面角 的大小为 ，则该三棱锥外接球的表面积为________． 【答案】 【分析】 设三棱锥 的外接球为球 ，过点 作 平面 ，垂足为点 ，则 为 的中点，设 ，球 的半径为 ，根据已知条件可得出关于 、 的方程