专题03 导数及其应用-2021年新高考数学模拟题分项汇编（第四期•4月）

专题03 导数及其应用 1．（福建省漳州市2021届高三质检）已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且满足 ， ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由题意构造新函数 ，得到函数的单调性，对问题进行变形，由单调性转化为求解不等式问题，即可得到结果 【解析】由题可设 ， ， 则 ， 所以函数 在 上单调递增， ， 将不等式 转化为 ， 可得 ，即 ， 有 ，故得 ，所以不等式 的解集为 ， 故选：D. 2．（福建省名校联盟2021届高三大联考）已知定义 在上的函数 ，其导函数为 ，若 ，且当 时， ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 令 ，根据题意，得出 为定义在 上的偶函数，且 在 单调递减，把不等式转化为 ，得到 ，即可求解. 【解析】令 ，则 . 又由 ，所以 . 故 ，即 为定义在 上的偶函数； 当 时， ，所以 在 上单调递增， 又因为 为偶函数，故 在 单调递减， 由 ，即 ， 所以 ，解得 ， 所以不等式 的解集为 . 故选：D. 3．（广东省广州市2021届高三一模）已知 是自然对数的底数，设 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 首先设 ，利用导数判断函数的单调性，比较 的大小，设利用导数判断 ，放缩 ，再设函数 ，利用导数判断单调性，得 ，再比较 的大小，即可得到结果. 【解析】设 ， ， 当 时， ，函数单调递增，当 时， ，函数单调递减， ， 时， ，即 ， 设 ， ， 时， ，函数单调递减， 时， ，函数单调递增，所以当 时，函数取得最小值， ，即 恒成立， 即 ， 令 ， ， 时， ， 单调递减， 时， ， 单调递增， 时，函数取得最小值 ，即 ， 得： ，那么 ， 即 ，即 ， 综上可知 . 故选：A 4．（广东省汕头市2021届高三一模）函数 ，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．若 有两个不相等的实根 ，则 D．若 均为正数，则 【答案】BD 【分析】 求出导函数，由导数确定函数日单调性，极值，函数的变化趋势，然后根据函数的性质判断各选项． 由对数函数的单调性及指数函数单调性判断A，由函数 性质判断BC，设 ，且 均为正数，求得 ，再由函数 性质判断D． 【解析】由 得： 令 得， 当x变化时， 变化如下表： x 0 单调递增 极大值 单调递减 故， 在 上递增，在 上递减， 是极大值也是最大值， 时， 时， ，且 时 ， 时， ， ， A． ，故A错 B． ，且 在 单调递增 ，故：B正确 C． 有两个不相等的零点 不妨设 要证： ，即要证： 在 单调递增，∴只需证： 即： 只需证： ……① 令 ，则 当 时， 在 单调递增 ，即： 这与①矛盾，故C错 D．设 ，且 均为正数，则 且 ，故D正确． 故选：BD． 5．（广东省实验中学2021届高三模拟）若不等式 在区间 内的解集中有且仅有三个整数，则实数 的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 令 ，根据导数判断出 的单调性并求得最值，根据 在区间 内的解集中有且仅有三个整数，转为 在区间 内的解集中有且仅有三个整数，结合图像可得结果. 【解析】不等式 ，即 ，不等式成立则 ， 令 ，则 . 令 ，得 或 ； ，得 ， 在 和 上单调递增，在 上单调递减， ，且 .如图所示 当 时， 至多有一个整数解.当 时， 在区间 内的解集中有且仅有三个整数，只需 ，即 ， 解得 . 故选：C 6．（广东省实验中学2021届高三模拟）已知函数 ，则以下结论正确的是（ ） A．函数 的单调减区间是 B．函数 有且只有1个零点 C．存在正实数 ，使得 成立 D．对任意两个正实数 ， ，且 ，若 则 【答案】ABD 【分析】 先求导数,再解不等式 ,即可判断A;先构造函数 ，再利用导数研究其单调性，最后结合零点存在定理判断B;先分离，再利用导数研究函数 最值，即可判断C; 先构造函数 ，再利用导数研究其单调性，最后利用单调性证不等式，即可判断D. 【解析】A选项，因为 ，所以 ， 由 得， ；由 得， ， 因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增；故A正确； B选项，令 ， 则 显然恒成立； 所以函数 在 上单调递减； 又 ， ， 所以函数 有且仅有一个零点；故B正确； C选项，若 ，可得 ， 令 ，则 ， 令 ，则 ， 由 得 ；由 得 ； 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减； 因此 ；所以 恒成立，即函数 在 上单调递减， 所以函数 无最小值； 因此，不存在正实数 ，使得 成立；故C错； D选项，令 ，则 ，则 ； 令 ， 则 ， 所以 在 上单调递