吉林省长春市普通高中2019届高三质量检测（四）数学（理）试题

长春市2019年高三质量监测（四） 理科数学 本试卷共4页。考试结束后，将答题卡交回。 注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘 贴在考生信息条形码粘贴区。 2. 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签 字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写 的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、 刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 是 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 学校先举办了一次田径运动会，某班共有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人. 两次运动会中，这个班总共的参赛人数为 A. 20 B. 17 C. 14 D. 23 圆 被直线 截得的线段长为 A. B. C. D. 下列椭圆中最扁的一个是 A. B. C. D. 已知向量 ，其中 ，则 的最小值为 A. B. C. D. 设 是各项均不为0的等差数列 的前 项和，且 ，则 等于 A. 1 B. 3 C. 7 D. 13 某学校要将4名实习教师分配到3个班级，每个班级至少要分配1名实习教师，则不同的分配方案有 A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 72种 已知 ，若 ，则 A. B. C. D. 某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A——结伴步行，B——自行乘车，C——家人接送，D——其他方式，并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图. 根据图中信息，求得本次抽查的学生中A类人数是 A. 30 B. 40 C. 42 D. 48 《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题： 今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何?用现代语言来解释，其意思为：立两个10m高的标杆，之间距离为1000步，两标杆与海岛的底端在同一直线上. 从第一个标杆M处后退123步，人眼贴地面，从地上A处仰望岛峰，人眼、标杆顶部和山顶三点共线；从后面的一个标杆N处后退127步，从地上B处仰望岛峰，人眼、标杆顶部和山顶三点也共线，则海岛的高为 A. B. C. D. 已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ，过 且倾斜角为 的直线与抛物线 交于 、 两点，若 、 的中点在 轴上的射影分别为 、 ，且 ，则抛物线 的准线方程为 A. B. C. D. 若函数 与 图像的交点为 ， ，…， ，则 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、填空题：本题共4小题，每小题5分。 已知复数 ，则 的模等于_________，它的共轭复数为___________. 的展开式中 项的系数为8，则 ____________. 如图所示，阴影部分由曲线 与 轴围成，向正方形中投掷一点，该点落在阴影区域的概率为___________. 底面为正多边形，顶点在底面的射影为底面多边形中心的棱锥为正棱锥，则半径为2的球的内接正四棱锥的体积最大值为___________. 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22~23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. （本小题满分12分） 已知数列 满足： ，点 （ ）在直线 上. （Ⅰ）求 ， ， 的值，并猜想数列 的通项公式； （Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中你的猜想. （本小题满分12分） 已知四棱柱 中， 平面 ， ，点 为 中点. （Ⅰ）求证：平面 ∥平面 ； （Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值. （本小题满分12分） 已知椭圆 （ ）的左顶点为 ，右顶点为 ， 为椭圆 上异于 、 的任意一点，平面内的点 满足 . （Ⅰ）若点 的坐标为