专题2.4 数列-结构不良型-2021年高考数学解答题挑战满分专项训练（新高考地区专用）

专题2.4 数 列-结构不良型 1．等差、等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差、等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程． 2．给出与的递推关系，求an，常用思路是一是利用转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an． 3．求数列的前项和常见思路： （1）对于等差和等比数列，直接结合求和公式求解； （2）等差数列等比数列时，常采取分组求和法； （3）等差数列等比数列时，常采取错位相减法； （4）裂项相消法．用裂项相消法解题的关键步骤，①判断结构，即根据通项的结构，看它是否可以裂项，能裂项就写出通项裂项后的表达式；②写出和式，即按通项裂项后的表达式写出和式，看哪些项能相互抵消；③化简整理，即计算并整理和式，得到和式的最简结果． 1．设数列的前项和为，在①，②，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答． 问题：已知数列满足，______，若数列是等比数列，求数列的通项公式；若数列不是等比数列，说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【试题来源】2021届普通高等学校招生全国统一考试数学考向卷（四） 【答案】答案不唯一，具体见解析 【分析】若选①，利用化简得，得，从而可作出判断；若选②，利用可得，从而有数列是首项为1，公比为3的等比数列；若选③，先求出，然后可得，再利用得，从而可判断数列是首项为1，公比为2的等比数列， 【解析】若选①：，则当时，， 两式相减，得，即，结合，可知，所以． 由，得，即， 故数列不是等比数列． 若选②：，由，得，即，于是， 当时，，两式相减得，即， 所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，因此． 若选③：，由，得， 当时，，两式相减得，即， 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，因此． 2．已知等差数列的前项和为． （1）请从下面的三个条件中选择两个作为已知条件，求数列的通项公式； ①；②；③； 注：如果采用多种条件组合作答，则按第一个解答计分． （2）在（1）的条件下，令，求数列的前项和． 【试题来源】黑龙江省大庆市2021届高三第一次教学质量检测（一模） 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据所选条件，得出方程组，即可求出数列的通项公式； （2）由（1）可得，即可得到数列为等比数列，再利用等比数列求和公式计算可得； 【解析】（1）选择条件①②，①③，②③对应的基本量如下： 由，即 由，即 由，即解得，所以． （2）．因为， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以． 3．已知各项均为正数的数列，其前n项和为，数列为等差数列，满足，．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求解下列问题： （1）求数列的通项公式和它的前n项和； （2）若对任意不等式恒成立，求k的取值范围． 条件① 条件②，当，， 注：如果选择条件①、条件②分别解答，按第一个解答计分． 【试题来源】备战2021年高考数学全真模拟卷（山东高考专用） 【答案】（1）选①，；；选②，， （2）选①，；选②， 【分析】（1）选①，根据与的关系求出通项公式，再利用等差数列的前项和公式即可求解； 选②，利用等差数列的通项公式以及前项和公式即可求解． （2）选①，分离参数可得，求出最大值即可；选②，分离参数可得，利用基本不等式求出的最小值即可． 【解析】（1）选①，由， 则，，两式相减可得 ，， 又，所以，即， 所以数列为等差数列，当时，， 所以，所以； 选②，，当，，， ，所以当时，数列为等差数列， 所以时，， 所以， （2）数列为等差数列，，， 则公差，所以． 若对任意不等式恒成立， 若，则恒成立，，所以， 若，则恒成立，， 因为，所以， 当且仅当时取等号，所以． 4．已知有限数列共有30项，其中前20项成公差为的等差数列，后11项成公比为的等比数列，记数列的前n项和为．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求： （1）的值； （2）数列中的最大项． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 【试题来源】北京市石景山区2021届高三一模 【答案】答案见解析． 【分析】（1）分别选择一个条件，利用等差、等比数列的通项公式以及前项和公式计算即可．（2）根据（1）所得到的数据，然后根据数列等差部分、等比部分的单调性简单判断即可． 【解析】选择条件①： （1）因为的前20项成等差数列，， 所以解得． 所以． 因为数列后11项成公比为的等比数列，所以． 综上，． （2）的前20项成等差数列，，所以前20项为递增数列． 即前20项的最大项为． 数列的后11项成等比数列