专题2.3 数列-常规型-2021年高考数学解答题挑战满分专项训练（新高考地区专用）

专题2.3 数 列-常规型 1．（1） 等差（比）数列问题解决的基本方法：用公式进行基本量代换； （2）数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法． 2．数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法． 3．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解，这也是考查频率比较高的考查点． 1．已知正项等差数列的前项和为，若构成等比数列． （1）求数列的通项公式． （2）设数列的前项和为，求证： 【试题来源】二轮复习联考（一）2021届高三 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】（1）由等差数列和等比数列的定义，即可求出通项公式． （2）利用裂项相消法即可求出数列的和，进而利用不等式放缩即可证明结果． 【解析】（1）由为等差数列，得，则 又构成等比数列，所以， 即解得或(舍)，所以； （2）因为， 所以 . 2．已知为等差数列，为公比大于0的等比数列，且，，，． （1）求和的通项公式； （2）记，数列的前项和为，求． 【试题来源】天津市部分区2021届高三下学期质量调查（一） 【答案】（1），；（2）． 【分析】（1）求出的公差和的公比后可得和的通项公式． （2）利用错位相减法可求． 【解析】（1）设的公差为，的公比为， 则，解得或（舍），故． 又，故，故． （2）， 故， 所以， 所以 ， 故． 3．已知{an}为等差数列，各项都为正数的等比数列{bn}的前n项和为Sn，且，，，． （1）求､的通项公式； （2）求和． 【试题来源】陕西省西安市八校2020-2021学年高三上学期第一次联考 【答案】（1）an=2n；bn=3n，n∈N*；（2）2n2+4n． 【分析】（1）根据等差等比数列的通项公式及求和公式列出方程组求解即可； （2）变形后根据等差数列的求和公式求和即可． 【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，q>0， 由b1=3，S3=39，a1=b2﹣7，a40=b4﹣1，可得3+3q+3q2=39，a1=3q﹣7，a1+39d=3q3﹣1， 解得q=3，d=2，a1=2， 则an=2+2(n﹣1)=2n；bn=3•3n﹣1=3n，n∈N*； （2）a1+2a2+2a3+……+2an+an+1=2(a1+a2+a3+……+an+an+1)﹣a1﹣an+1 =2•(n+1)(2+2n+2)﹣2﹣2(n+1)=2n2+4n． 4．已知是等差数列，，，且，，是等比数列的前3项． （1）求数列，的通项公式； （2）数列是由数列的项删去数列的项后仍按照原来的顺序构成的新数列，求数列的前20项的和． 【试题来源】湘豫名校联考2021届高三（4月） 【答案】（1），；（2）． 【分析】（1）根据以及等差数列的通项公式计算即可得到结果，然后根据可得，最后简单计算可得．（2）根据（1）的条件可知求解的是，计算即可． 【解析】（1）数列是等差数列，设公差为，且，． 则，解得，所以． 因为，，是等比数列的前3项，则， 由于，代入上式解得． 于是，，，因此等比数列的公比． 故数列的通项公式为． （2）设数列的前20项的和为． 因为，， 则 ． 5．已知数列的前项和． （1）求数列的通项公式 （2）若数列满足，求数列的前项和． 【试题来源】百校大联考2021届高三第六次大联考 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）利用求通项公式； （2）先根据求出，再用错位相减法求和． 【解析】，当时，即； 当时，， ． ，验证知，当时，也成立． 综上，． 据求解知，． 又，， ，数列的前项和，① ，② ①-②得 ， 【名师点睛】数列求和常用方法：（1）公式法； （2）倒序相加法；（3）裂项相消法； （4）错位相减法． 6．已知公差的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列 （1）求数列的通项公式； （2）求证数列的项和 【试题来源】内蒙古赤峰市2021届高三下学期3月模拟考试 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】（1）运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）运用等差数列的求和公式，可得，，再由裂项相消求和，可得所求和． 【解析】（1）公差的等差数列的前项和为，，，，成等比数列，则，即解得 则； （2）由等差数列求和公式得， ， 故 ． 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和及裂项相消法求和，常见的裂项技巧：（1）；（2） ； （3）；（