专题2.1 解三角形-常规型-2021年高考数学解答题挑战满分专项训练（新高考地区专用）

专题2.1 解三角形-常规型 1．对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用． 2．在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考： （1）从题目给出的条件，边角关系来选择； （2）从式子结构来选择． 3．选择“边化角”或“角化边”时，具体变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理． 1．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且． （1）求角A； （2）若的面积，求a的取值范围． 【试题来源】广西南宁市2021届高三下学期第一次适应性测试 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由正弦定理化角为边可得，再利用余弦定理即可求出； （2）由面积公式可得，再利用基本不等式即可求出． 【解析】（1）由已知结合正弦定理可得，即， 则由余弦定理可得， ，； （2），则， 由，当且仅当时等号成立，． 2．在中，，点D在边上，满足． （1）若，求； （2）若，求的面积． 【试题来源】江苏省苏锡常镇四市2021届高三下学期3月教学情况调研（一） 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）在中，由正弦定理求得，得到的大小，进而求得的大小；（2）由，得到，根据向量的线性运算，求得，进而得到，求得的长，利用面积公式，即可求解． 【解析】（1）在中，由正弦定理得， 所以， 因为，所以或， 当时，可得，可得； 当时，可得，因为（舍去）， 综上可得． （2）因为，所以， 由， 所以， 即， 又由，可得，解得， 则， 所以． 3．在中，内角，，对边的边长分别是，，．已知． （1）求角的大小； （2）若，，求的值． 【试题来源】天津市南开区2021届高三下学期一模 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）将等式化简，再利用正弦定理及余弦定理，即可求出角；（2）利用正弦定理求出，再根据，可知，进而可根据同角三角函数关系，求出，再利用两角差的余弦公式及二倍角公式，即可求出． 【解析】（1）由化简， 得，由正弦定理，得， 由余弦定理得，又，所以． （2）因为，，所以由正弦定理，得， 因为，所以，所以， 所以， 所以． 【名师点睛】本题在利用同角三角函数求时，需要注意利用大边对大角确定角的范围． 4．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为锐角，． （1）求A； （2）若，且边上的高为，求的面积． 【试题来源】广东省深圳市2021届高三一模 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）先用余弦定理化余弦为边，再用正弦定理化边为角从而求得；（2）由余弦定理用表示，然后把三角形的面积用两种方法表示求得，从而可计算出面积． 【解析】（1）由得， 由余弦定理得，所以， 由正弦定理得，是三角形内角，， 所以，又A为锐角，所以． （2）由（1），， 所以，即，， ，． 【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．利用正弦定理和余弦定理进行边角互化是解题关键．三角形的面积采取了二次计算，通过不同的计算方法得出等式，从而求解．这是一种解题技巧． 5．如图，在中，，，点在边上，，为锐角． （1）若，求线段的长度； （2）若，求的值． 【试题来源】2021年浙江省新高考测评卷数学（第七模拟） 【答案】（1）7；（2）． 【分析】（1）分别在△、△中，由余弦定理求，，即可求的长度； （2）记，则，在△中由余弦定理求、、，法一：即可求、，由已知求，又即可求值；法二：由余弦定理求，，又即可求值． 【解析】（1）在△中，由余弦定理得， 所以或． 当时，，则，不合题意，舍去； 当时，，则，符合题意． 所以． 在△中，， 所以或（舍）． 所以． （2）记，则． 在△中，， 所以为锐角，得，，即，， 法一：，同理． 由知， 所以． 法二：，． 所以． 【名师点睛】（1）应用余弦定理求三角形的边长，根据边的数量关系求； （2）由余弦定理，利用诱导公式及两角和或差的正弦公式，求角的正弦值即可． 6．在中，角的对边分别为，已知． （1）求边的长和三角形的面积； （2）在边上取一点D，使得，求的值． 【试题来源】广东省汕头市2021届高三一模 【答案】（1）；；（2）． 【分析】（1）法一：中，由余弦定理求的长，应用三角形面积公式求的面积；法二：过作出高交于，在所得直角三角形中应用勾股定理求，即可求，由三角形面积公式