2021年小升初奥数22讲-第16讲方程组的解法

第16讲方程组的解法 知识要点 二元一次方程组是研究一次方程组的基础，也是解决实际问题的重要工具.有些数学问题初看起来不是属于二元一次方程组的问题，但我们可以通过已知条件(或已知的有关关系式）去建立二元一次方程组，作为桥梁来解决所需求解的问题. 对于二元一次方程组 ( 为已知数，且 与 、 与 中都至少有一个不为零)： 1 .当 时，方程组有唯一解 2.当 时，原方程组有无数多组解； 3.当 时，原方程组无解 二元及多元（二元以上）一次方程组的求解，主要是通过同解变形进行消元，最终转化为一元一次方程来解决，所以解方程组的基本思路是消元，主要的消元法有代入消元和加减消元两种. 典例睛讲 典例1 已知关于 的方程组： ① ② 分别求出当 为何值时，方程组 (1)有唯一一组解； (2)无解； (3)有无穷多组解. 分析 与一元一次方程一样，含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论，一 般是通过消元，归结为一元一次方程 的形式进行讨论.但必须特别注意，消元时， 若用含有字母的式子去来或者去除方程的两边时，这个式子的值不能等于零. 解 由①式得 ③ 将③代入②得 ④ 当 ，即 ，且 时，方程④有唯一解 .将此 值代入③有 ，因而原方程组有唯一一组解. 当 ，且 时，即 时，方程④无解，因此原 方程组无解. 当 ，且 时，即 时，方程④有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解. 典例2 已知关于 的二元一次方程 .当 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一组公共解，试求出这组公共解 解法一 根据题意，可分别令 代人原方程得到一个方程组 解之得 将 代人原方程得 所以对任何 值， 都是原方程的解. 说明 取 为的是使方程中 ，方程无 项，可直接求出 值；取 的道理类似. 解法二 可将原方程变形为 .由于公共解与 无关， 故有 解之得公共解为 典例3 解方程组： . 解 原方程可化为 解得 典例4 解方程组： 分析 因为 表示两个方程，即 和 ，或者 和 ，或者 和 ， 所以原方程组实际上是由三个方程组成的三元一次方程组. 解 将原方程组改写为 由方程②得 ，代入①化简得 . 由③得 得 ，所以 将 代人⑤，得 ；将 代人②，得