2020-2021学年高二数学人教A版选修1-1第三章 3.3.3函数的最大小值与导数导学案（含答案）

内　容　标　准 学　科　素　养 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系． 2.会求某闭区间上函数的最值. 利用直观抽象 提升数学运算 和逻辑推理 [基础认识] 知识点一　函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值 极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，如果x0是f(x)的极大(小)值点，那么在点x0附近找不到比f(x0)更大(或更小)的值．但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小．如何求函数的最值呢？ 如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象． (1)观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值． (2)结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？ (3)函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？ 提示：(1)极大值为f(x1)，f(x3)， 极小值为f(x2)，f(x4)． (2)存在，f(x)min＝f(a)， f(x)max＝f(x3)． (3)不一定，也可能是区间端点的函数值．　　　 知识梳理　函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值 函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得． 知识点二　求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤 知识梳理　(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值． (2)求函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 知识点三　最值与极值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言． (2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)． (3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点． (4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得． 如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象．求函数f(x)的极大(小)值，最大(小)值在什么位置取到？ 提示：显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值．最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得．　　　 [自我检测] 1．函数f(x)＝ex－x在区间[－1,1]上的最大值是(　　) A．1＋ 　　　　　　 B．1 C．e－1 D．e＋1 答案：C 2．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)(　　) A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值 C．无最大值，但有最小值 D．既无最大值，也无最小值 答案：D 探究一　求函数的最值 　[阅读教材P97例5]求函数f(x)＝ x3－4x＋4在[0,3]上的最大值与最小值． 题型：利用导数求函数的最值． 方法步骤：①先求导． ②求函数在(0,3)上的极值． ③将函数的极值和端点处的函数值比较，得出最大值与最小值． [例1]　求下列各函数的最值： (1)f(x)＝－x3＋3x，x∈[－ ，3]； (2)f(x)＝x2－ (x<0)． [解析]　(1)f′(x)＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)． 令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1， 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x － (－ ，－1) －1 (－1,1) 1 (1,3) 3 f′(x) 　 － 0 ＋ 0 － f(x) 0  极小值  极大值  －18 所以x＝1和x＝－1是函数在[－ ，3]上的两个极点， 且f(1)＝2，f(－1)＝－2. 又因为f(x)在区间端点处的取值为 f(－ )＝0，f(3)＝－18. 所以f(x)max＝2，f(x)min＝－18. (2)f′(x)＝2x＋ . 令f′(x)＝0得x＝－3. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－3) －3 (－3,0) f′(x) － 0 ＋ f(x)  极小值  所以x＝－3时，f(x)取得极小值，也就是最小值， 故f(x)的最小值为f(－3)＝27，无最大值． 方法技巧　1.求函数的最值，显然求极值是关键的一步．若仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得： (1)求出导数为零的点． (2)比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值． 2．若函数在闭区间[a，b]上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得． 跟踪探究　1.求下列各函数的最值： (1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,4]；