第二章 抛物线及其标准方程2-格邦高中阶段2020-2021学年高中数学选修2-1同步资源（人教A版）

姓名： 日期： 高中数学 选修2-1 曲线方程 测试内容：抛物线的性质 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 1．抛物线的简单几何性质 2.焦半径与焦点弦[说明：此部分为拓展内容，大纲无要求，学有余力的学生可选择性记忆] 抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦．设抛物线上任意一点P (x0，y0)，焦点弦端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准形式下的焦点弦，焦半径公式为 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 焦半 径|PF| |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0 |PF|＝ y0＋ |PF|＝－y0 焦点 弦|AB| |AB|＝ x1＋x2＋p |AB|＝ p－x1－x2 |AB|＝ y1＋y2＋p |AB|＝ p－y1－y2 3.通径[说明：此部分为拓展内容，大纲无要求] 通过抛物线的焦点作垂直于对称轴交抛物线于A，B两点的线段AB，称为抛物线的通径，如图所示． 对于抛物线y2＝2px(p>0)，由A，B，可得|AB|＝2p，故抛物线的通径长为2p. 题型一：抛物线的简单几何性质 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛物线是中心对称图形．(　　) (2)抛物线是双曲线的一支，也有渐近线．(　　) (3)抛物线是轴对称图形．(　　) 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)顶点在原点，对称轴为y轴且过点(4,1)的抛物线方程是_______________． (2)已知点(－2,3)与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离是5，则p＝________. (3)抛物线y＝2px2(p>0)的对称轴为__________________________________． (4)(教材改编P72T3)过抛物线y2＝8x的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为________． 3.(1)已知抛物线y2＝8x，求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围； (2)抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程． 4.如图，已知边长为2的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴． (1)求以O为顶点且过AB的抛物线方程； (2)求抛物线的焦点坐标，准线方程及离心率e. 题型二：抛物线的焦点弦问题 5.已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F的一条弦．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，直线AB的倾斜角为θ.求证： (1)|AB|＝2； (2)|AB|＝； (3)x1x2＝，y1y2＝－p2； (4)＋为定值； (5)S△AOB＝.　 　　　　　　　　　　　　　　　 6.已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点． (1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值； (2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离． 题型三：抛物线中的定值、定点问题 7.已知抛物线x2＝2py(p>0)，其焦点F到准线的距离为1.过F作抛物线的两条弦AB和CD(点A，C在第一象限)，且M，N分别是AB，CD的中点． (1)若AB⊥CD，求△FMN面积的最小值； (2)设直线AC的斜率为kAC，直线BD的斜率为kBD，且kAC＋4kBD＝0，求证：直线AC过定点，并求此定点． 8.如图，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值． 题型四：与抛物线有关的最值问题 9.求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离． 10.如图，已知△AOB的一个顶点为抛物线y2＝2x的顶点O，A，B两点都在抛物线上，且∠AOB＝90°. (1)证明：直线AB必过一定点； (2)求△AOB面积的最小值． 题型五：直线与抛物线的位置关系 11.已知抛物线C：y2＝－2x，过点P(1,1)的直线l斜率为k，当k取何值时，l与C有且只有一个公共点，有两个公共点，无公共点？ 12.已知点A(0,2)和抛物线C：y2＝6x，求过点A且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程． 题型六：与抛物线