方案06 “二次函数考题新特点”魔幻10题-2021年中考数学速效提分方案

“二次函数考题新特点”魔幻10题 -----2021中考数学速效提分方案 1．若二次函数y＝ax2＋b的最大值为4，且该函数的图象经过点A(1，3)． （1）求a，b的值以及顶点D的坐标． （2）直接写出这个二次函数图象关于x轴对称后所得的新图象的函数表达式． （3）在二次函数y＝ax2＋b的图象上是否存在点B，使得 ？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）a＝－1，b＝4，(0，4)；（2）y＝x2－4；（3）存在，(2，0)或(－2，0)． 【分析】 (1)由题意即可求得a，b的值，根据表达式即可得到顶点坐标； (2)利用原二次函数图象上的点关于x轴对称的点的特点“横坐标相同，纵坐标互为相反数”就可以解答． (3)假设存在并设出其坐标(x，y)，根据 易得 ，分x的值为2与－2两种情况讨论，进而可得答案． 【详解】 解：(1)由二次函数y＝ax2＋b的最大值为4，可知b＝4． ∵函数的图象经过点A(1，3)， ∴3＝a＋4，解得： 故该二次函数的表达式为 ，顶点D的坐标为(0，4)． (2)由题意可知， 二次函数图象上的点关于x轴对称的点的特点“横坐标相同，纵坐标互为相反数”， 故将原二次函数中的y用 代替，得到 整理得： ． (3)存在．假设存在点B（x，y），使得： ， ∴ OD· ＝2× OD×1， 解得： ． ①当x＝2时，则 ； ②当x＝－2时，则 ． ∴存在满足条件的点B，它的坐标为(2，0)或(－2，0)． 【旗开得胜】 本题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求函数的解析式，三角形面积的求法，二次函数的对称性，分类思想的运用，综合性较强，熟练掌握二次函数的图形性质是解决本题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交x轴正半轴于点A，M是抛物线对称轴上的一点， ，过点M作x轴的平行线交抛物线于点B， 在C的左边 ，交y轴于点D，连结OB，OC． 求OA，OD的长． 求证： ． 是抛物线上一点，当 时，求点P的坐标． 【答案】（1） ;（2）证明见解析;（3）P 【分析】 (1)先根据抛物线对称轴公式求得抛物线对称轴，可得 ， ，再根据勾股定理可求OD的长．(2)当 时， ，解方程求得 ， ，再根据正切函数可求∠BOD=∠AOC；(3)MC=CD-DM=5=OM，根据等边对等角可得 再根据等量关系得到 ，根据三角函数可求 ，代入抛物线解析式得 ，解方程即可求得点P的坐标． 【详解】 解： 抛物线对称轴为 ， ， ； ， ． 当 时， ，解得 ， ， ， ， ， ，             ， ． 轴， ． ， ， ， ， ． ，代入抛物线解析式得 ，解得 舍去 或 ， ， 点P的坐标为 ． 【旗开得胜】 本题考查了抛物线对称轴公式，勾股定理，等边对等角的性质，三角函数，方程思想的运用，综合性较强，是二次函数综合题． 3．已知抛物线为： ． （1）若该抛物线与 轴交于 ，与 轴仅有一个交点，求抛物线的解析式； （2）若该抛物线的开口向下， ， 是抛物线上的两点，当 时，直接写出 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】 （1）先根据二次函数的定义可得 ，再将点 代入抛物线的解析式可得 ，然后根据二次函数与一元二次方程的联系可得关于x的方程 有两个相等的实数根，利用方程的根的判别式求出a的值即可得； （2）先求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的对称性可得点Q关于对称轴的对称点的坐标，然后根据二次函数的性质即可得． 【详解】 （1） EMBED Equation.DSMT4 是抛物线的解析式， ， 将点 代入抛物线的解析式得： ， 抛物线 与 轴仅有一个交点， 关于x的方程 有两个相等的实数根， 其根的判别式 ， 解得 或 （舍去）， 故抛物线的解析式为 ； （2）抛物线 的对称轴为 ， 则点 关于对称轴的对称点的坐标为 ， 该抛物线的开口向下， ， 是抛物线上的两点， ， ． 【旗开得胜】 本题考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的联系等知识点，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键． 4．如图，抛物线 与 轴正半轴， 轴正半轴分别交于点 ，且 点 为抛物线的顶点． 求抛物线的解析式及点G的坐标； 点 为抛物线上两点(点 在点 的左侧) ，且到对称轴的距离分别为 个单位长度和 个单位长度，点 为抛物线上点 之间(含点 )的一个动点，求点 的纵坐标 的取值范围． 【答案】（1） ，G（1,4）；（2）﹣21≤ ≤4. 【分析】 （1）根据 用c表示出点A的坐标，把A的坐标代入函数解析式，得到一个关于c的一元二次方程，解出c的值，从而求出函数解析式，求出顶点G的坐标． （2）根据函数解析式求出函数图像对称轴，根据点M,N到对称轴的距离，判