2020-2021学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册重难点题型专项提优-专题05 正余弦定理一（江苏，机构专用）

2021人教A版新高一数学下学期重难点题型专项提优 专题05正余弦定理一（解析版） 本专题主要强化三个内容：一、与三角形的解的个数有关的问题；二、边角互换与三角形形状的判断；三、与三角形的中线、角平分线有关的问题． 【2021新高一江苏无锡、苏州适用】 【考点一：与三角形的解的个数有关的问题】 例1．在△ABC中，已知a＝18，b＝16，A＝150°，则这个三角形解的情况是 A．有两组解 B．有一组解 C．无解 D．不能确定 【答案】B 【解析】 ， ， ， 由正弦定理可得， ， ， 为锐角，三角形只有一解． 例2．△ABC中，a＝6，B＝60°，若解此三角形时有两解，则b的取值范围为 ． 【答案】 ， 【解析】 中， ， ，由正弦定理得： ， ， ； ， ，要使三角形有两解，得到 ，且 ，即 ， ，解得： ， 的取值范围是 ， ． 例3．在△ABC中，若a＝2eq \r(3)，A＝30°，讨论当b为何值时(或在什么范围内)，三角形有一解，有两解或无解？ 【解析】解：①当 时， ，此时三角形形状唯一； ②当 时，三角形无解． ③当 时，即 时，三角形有两解； ④当 ，即 时，三角形一解． 变式训练： 1．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是 A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解 B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解 C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解 D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解 【答案】D 【解析】 项中 ， ，故三角形一个解， 项说法错误． 项中 ， ，故 有锐角和钝角两种解． 项中 ，故有解． 项中 ， ， 一定为锐角，有一个解． 2．（多选）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列各组条件中使得△ABC有唯一解的是 A． ， ，cosC＝ B． ， ，cosC＝ C． ， ，sinB＝ D． ，sinB＝ ，C＝ 【答案】BD 【解析】对于 ，由余弦定理 ，可得 ，即 ，解得 ，可得 有两个解，故错误； 对于 ，由余弦定理 ，可得 ，即 ，解得 ，（负值舍去），可得 有一个解，故正确； 对于 ，由 ， ，可得 ，可得角 不唯一，故错误； 对于 ，由 ，且 ，故 为锐角且有唯一解，可得 有一个解，故正确． 3．△ABC的内角为A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝ ，A＝30°，则边长b＝ ． 【答案】2或4 【解析】根据余弦定理可得 ，解得b＝2或4． 4．在△ABC中，c＝ ，acosC＝csinA，若当a＝ 时的△ABC有两解，则 的取值范围是 ． 【答案】( ，2) 【解析】 ， ， ， ， ， ， ， ， ，要是三角形有两个解，需 为锐角， ， ， ， ， ， ． 5．平面凸四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝120°，AB＝ ，AD＝3，CD＝t(t为常数)，若满足上述条件的平面凸四边形ABCD有且只有2个，则t的取值范围是 ． 【答案】 ， 【解析】 到直线 的距离 ， 关于 的对称点 ，由 ， ， ， 根据余弦定理定理可得 ，设 ， 则 ， ， 故 ， ，当 ， ， 三点在一条直线上时，可得 ， 在 ’中，由正弦定理可得 ，可得 ， 则 ，则 ，当 在线段 （除两端点）上运动时，符合“平面凸四边形 有且只有2个”，故t的取值范围是 ，即 ， ． 【考点二：边角互换与三角形形状的判断】 例1．已知△ABC的面积为S，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4S＝a2﹣(b﹣c)2，bc＝4，则S＝ A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【解析】 ， ， ，可得： ，可得： ， 可得： ， ，可得： ， ，解得： ， ． 例2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ， EMBED Equation.DSMT4 ，则角B＝ ． 【答案】 【解析】 ， 根据正弦定理，得 即 ．而 ，得 ， ，得 ，可得 ， ， 根据余弦定理，得 ， ，因此，角 ． 例3．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ， ，则角C＝ ． 【答案】 【解析】 ， 由正弦定理，可得 ， ， ， ， ， ， ． 例4．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若1＋ ＝ ，则角A的大小为 ． 【答案】 【解析】 由 可得 ，由正弦定理可得， ，整理可得， ， ， ， ． 例5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为