第13章 立体几何初步（能力提升）-2020-2021学年高一数学单元测试定心卷（苏教版2019必修第二册）

第13章 立体几何初步（能力提升） 考试时间：120分钟 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间90分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、单选题（共8小题） 1.若直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，则直线a与直线b的位置关系为（　　） A．异面 B．相交 C．平行 D．平行或异面 【答案】C 【分析】由直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，利用反证法证明a∥b． 【解答】解：若直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，则直线a与直线b的位置关系是平行． 原因如下： 若a与b相交，设交点为O，则过O点有两条直线都有平面α垂直，与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直矛盾； 若a与b异面，如图， 设b∩α＝O，则由a与O可确定平面β，在β内过O作直线c∥a，则c⊥α，这样，过O有两条直线b与c与α垂直， 也与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直矛盾． 故选：C． 【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系 2.一个长方体的长，宽、高分别为5，3，，则该长方体的外接球的表面积为（　　） A．36π B．40π C．45π D．70π 【答案】B 【分析】利用长方体的外接球的直径就是长方体的体对角线的长，求出外接球的半径，然后求解外接球的表面积． 【解答】解：长方体的外接球的直径就是长方体的体对角线的长， 长方体的长，宽、高分别为5，3，， 该长方体的外接球的半径， 则该长方体的外接球的表面积为4πR2＝40π． 故选：B． 【知识点】球的体积和表面积 3.在三棱锥A﹣BCD中，已知AB、AC、AD两两垂直，且△BCD是以边长为2的正三角形，则该三棱锥的外接球的体积为（　　） A．12π B．4π C．6π D．π 【答案】D 【分析】直接利用勾股定理，球的体积公式，三棱锥与外接球的关系式的应用求出结果． 【解答】解：根据三棱锥A﹣BCD中，已知AB、AC、AD两两垂直，且△BCD是以边长为2的正三角形， 利用勾股定理得到：， 故三棱锥的外接球的半径R＝＝， 所以＝． 故选：D． 【知识点】球的体积和表面积 4.三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝＝2，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积为（　　） A．32π B．16π C．12π D．8π 【答案】D 【分析】由三棱柱ABC﹣A1B1C1的结构特征，把三棱柱ABC﹣A1B1C1放入长方体中，则长方体的外接球就是三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球，利用长方体的体对角线求出长方体的外接球的半径，从而得到三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球半径，再利用球的表面积公式求出棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积即可． 【解答】解：把三棱柱ABC﹣A1B1C1放入长方体中， 如图所示： 所以长方体的外接球即是三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球， ∵AB＝1，BC＝＝2， ∴长方体的外接球的半径R＝＝， ∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球半径为， ∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积为＝8π， 故选：D． 【知识点】球的体积和表面积 5.已知两条异面直线的方向向量分别是＝（3，1，﹣2），＝（3，2，1），则这两条异面直线所成的角θ满足（　　） A．sinθ＝ B．sinθ＝ C．cosθ＝ D．cosθ＝ 【答案】C 【分析】由已知两条异面直线的方向向量的坐标，然后利用数量积求夹角公式得答案． 【解答】解：∵两条异面直线的方向向量分别是＝（3，1，﹣2），＝（3，2，1）， ∴， ，， 又两条异面直线所成的角为θ，则cosθ＝|cos＜＞|＝＝． 故选：C． 【知识点】异面直线及其所成的角 6.设m，n为两个不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法中不正确的是（　　） A．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β B．当m与α平行时，若m与n不平行，则n与α不平行 C．若α⊥β，点P∈α，点P∈a，a⊥β，则a⊂α D．若m⊂β，α∥β，则m∥α 【答案】B 【分析】由线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理可判断A；由面面平行的性质定理可判断B；由面面垂直的性质定理可判断C；由面面平行的性质定理可判断D． 【解答】解：对于A，由m∥n，n⊥β，可得m⊥β，又m⊂α，则α⊥β，故A正确； 对于B，过m、n作平面β，使得α∥β，则β内的任一条直线都与α平行，故B错误； 对于C，若α⊥β，点P∈α，点P∈a，a⊥β，由面面垂直的性质定理可得a⊂α，故C正确； 对于D，若m⊂β，α∥β，由面面平行的性质定理可得m∥α，故D正确． 故选：B． 【知识点】平面与平面之间的位置关系、空间中直线与平面之间的位置关系、空间中直线与直线之间的位置关系 7.如图1，已知PABC是直角梯形