8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积-2020-2021学年高一数学新教材配套导学案（人教A版2019必修第二册）

8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 学习目标: 1. 了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式. 2. 能利用计算公式求几何体的表面积与体积. 预习案 1.棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和. 即时练习1：一个正三棱锥各边长均为，求它的表面积. 解：每个面的面积为，所以表面积为. 即时练习2:正六棱台的上、下底面边长分别为和，侧棱长是，求它的表面积. 解:上底面面积,下底面面积. 侧面面积 所以,表面积为. 2.棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体 体积 说明 棱柱 为棱柱的底面积，为棱柱的高. 棱锥 为棱锥的底面积，为棱锥的高. 棱台 、为棱台的上下底面积， 为棱台的高. 即时练习3:已知高为3的三棱柱的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱柱的体积为,三棱锥的体积为. 即时练习4：一个正三棱锥各边长均为，则它的体积为. 探究案 1.现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积. 解：如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O， 体对角线A1C＝15，B1D＝9， ∴a2＋52＝152，b2＋52＝92， ∴a2＝200，b2＝56． ∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴AB2＝2＋2 ＝＝＝64， ∴AB＝8． ∴直四棱柱的侧面积S侧＝4×8×5＝160． ∴直四棱柱的底面积S底＝AC·BD＝20. ∴直四棱柱的表面积S表＝160＋2×20＝160＋40. 2.已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥，如图所示，求它的侧面积、表面积. 解：∵四棱锥S－ABCD的各棱长均为5， ∴各侧面都是全等的正三角形. 设E为AB的中点，连接SE，则SE⊥AB， ∴S侧＝4S△SAB＝4×AB×SE＝2×5×＝25， S表＝S侧＋S底＝25＋25＝25(＋1). 3.正四棱台两底面边长分别为和，侧面面积为，求其体积. 解：正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E， 则E1E为斜高.设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1为直角梯形. ∵S侧＝4××(10＋20)×EE1＝780(cm2)， ∴EE1＝13 cm. 在直角梯形EOO1E1中， O1E1＝A1B1＝5 cm，OE＝AB＝10 cm， ∴O1O＝＝12(cm). 故该正四棱台的体积为 V＝×12×(102＋202＋10×20)＝2 800(cm3). 4.如图，已知正方体棱长为1，求四棱锥的体积. 解：由题意可知四棱锥A1－BB1D1D的底面是矩形， 边长为1和，四棱锥的高为, A1C1＝， 则四棱锥A1－BB1D1D的体积为V＝×1××＝. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 $ 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 学习目标: 1. 了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式. 2. 能利用计算公式求几何体的表面积与体积. 预习案 1.棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体 的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的 的面积的和. 即时练习1：一个正三棱锥各边长均为，求它的表面积. 即时练习2:正六棱台的上、下底面边长分别为和，侧棱长是，求它的表面积. 2.棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体 体积 说明 棱柱 为棱柱的____，为棱柱的____. 棱锥 为棱锥的____，为棱锥的____. 棱台 、为棱台的____， 为棱台的____. 即时练习3:已知高为3的三棱柱的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱柱的体积为 ,三棱锥的体积为 . 即时练习4：一个正三棱锥各边长均为，则它的体积为 . 探究案 1.现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积. 2.已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥，如图所示，求它的侧面积、表面积. 3.正四棱台两底面边长分别为和，侧面面积为，求其体积. 4.如图，已知正方体棱长为1，求四棱锥的体积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 $