专题17 正方的判定与性质-2020-2021学年八年级数学下册常考题专练（人教版）

专题17正方形的判定与性质 ★ 知识归纳 ● 正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 要点梳理：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. ● 正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 要点梳理：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. ● 正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. ● 特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： ● 顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点梳理：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. ★ 实操夯实 一．选择题（共15小题） 1．菱形，矩形，正方形都具有的性质是（　　） A．四条边相等，四个角相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 【解答】解：菱形，矩形，正方形都具有的性质为对角线互相平分． 故选：D． 2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的有（　　） ①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形； ③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形． A．3个 B．4个 C．1个 D．2个 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴当AB＝BC时，它是菱形，故①正确， 当AC⊥BD时，它是菱形，故②正确， 当∠ABC＝90°时，它是矩形，故③正确， 当AC＝BD时，它是矩形，故④错误， 故选：A． 3．如图，已知E是正方形ABCD对角线AC上一点，且AB＝AE，则∠DBE度数是（　　） A．15° B．32.5° C．22.5° D．30° 【解答】解：∵AC、BD是正方形ABCD对角线， ∴∠BAE＝∠ABD＝45°， 又AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB＝67.5°， ∴∠DBE＝67.5°﹣45°＝22.5°， 故选：C． 4．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　） A．当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形 B．当AC＝BD时，四边形ABCD是正方形 C．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 D．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形 【解答】解：A、当AB＝BC时，由一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形，故该选项不符合题意； B、当AC＝BD时，由对角线相等的平行四边形是矩形可得四边形ABCD是矩形，故该选项符合题意； C、当AC⊥BD时，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形，故该选项不符合题意； D、当∠ABC＝90°时，由有一个角为直角的平行四边形是矩形可得四边形ABCD是矩形，故该选项不符合题意； 故选：B． 5．如图，已知四边形ABCD是正方形，E是AB延长线上一点，且BE＝BD，则∠BDE的度数是（　　） A．22.5° B．30° C．45° D．67.5° 【解答】解：∵BE＝DB， ∴∠BDE＝∠E， ∵∠DBA＝∠BDE+∠BED＝45° ∴∠BDE＝×45°＝22.5°． 故选：A． 6．如图，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，则下列判断错误的是（　　） A．四边形AEDF一定是平行四边形 B．若AD平分∠A，则四边形AEDF是正方形 C．若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形 D．若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形 【解答】解：A、∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，∴DE、DF为△ABC得中位线， ∴ED∥AC，且ED＝AC＝AF；同理DF∥AB，且DF＝AB＝AE， ∴四边形AEDF一定是平行四边形，正确． B、若AD平分∠A，如图，延长AD到M，使DM＝AD，连接CM，由于BD＝CD，DM＝AD， ∠ADB＝∠CDM， ∴△ABD≌△MCD（SAS）， ∴CM＝A