专题16 矩形的判定与性质-2020-2021学年八年级数学下册常考题专练（人教版）

专题16矩形的判定与性质 ★ 知识归纳 ● 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 要点梳理：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. ● 矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 要点梳理：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. ● 矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 要点梳理：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. ★ 实操夯实 一．选择题（共11小题） 1．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AO＝4，则AB的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝OC，BO＝OD，AC＝BD， ∴OA＝OB， ∵∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝AO＝4， 故选：A． 2．四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB＝BC D．AD＝BC 【解答】解：可添加AC＝BD， ∵四边形ABCD的对角线互相平分， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形， ∴四边形ABCD是矩形． 故选：B． 3．下列说法正确的是（　　） A．有一组对角是直角的四边形一定是矩形 B．有一组邻角是直角的四边形一定是矩形 C．对角线互相平分的四边形是矩形 D．对角互补的平行四边形是矩形 【解答】解：∵有一组对角是直角的四边形不一定是矩形， ∴选项A不正确；∵有一组邻角是直角的四边形不一定是矩形， ∴选项B不正确； ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴选项C不正确； ∵对角互补的平行四边形一定是矩形， ∴选项D正确； 故选：D． 4．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（　　） A．3 B． C． D．4 【解答】解：∵四边形COED是矩形， ∴CE＝OD， ∵点D的坐标是（1，3）， ∴OD＝＝， ∴CE＝， 故选：C． 5．如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，AE⊥BD于E，则EC＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：作EF⊥BC于F， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝3，AB＝CD＝，∠BAD＝90°． ∴tan∠ADB＝＝， ∴∠ADB＝30°， ∴∠ABE＝60°， ∴在Rt△ABE中cos∠ABE＝＝＝， ∴BE＝， ∴在Rt△BEF中，cos∠FBE＝＝＝， ∴BF＝， ∴EF＝＝， ∴CF＝3﹣＝， 在Rt△CFE中，CE＝＝． 故选：D． 6．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F．若AB＝6，BC＝8，则PE+PF的值为（　　） A．10 B．9.6 C．4.8 D．2.4 【解答】解：连接OP， ∵矩形ABCD的两边AB＝6，BC＝8， ∴S矩形ABCD＝AB•BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝10， ∴S△AOD＝S矩形ABCD＝12，OA＝OD＝5， ∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝OA（PE+PF）＝×5×（PE+PF）＝12， ∴PE+PF＝＝4.8． 故选：C． 7．如图，ABCD是矩形，AC、BD相交于O，AE垂直平分BO，若AE＝2，则OD＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD， ∴OA＝OB， ∵AE垂直平分OB， ∴AB＝AO， ∴OA＝AB＝OB＝2OE， ∵AE＝2， ∴，即4OE2﹣OE2＝12， ∴OE＝2， ∴OD＝OB＝2OE＝4； 故选：C． 8．如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点且∠AOG＝30°，则下列结论正确的个数为（