专题13 平行四边形的判定和性质-2020-2021学年八年级数学下册常考题专练（人教版）

专题13平行四边形的判定与性质 ★ 知识归纳 ● 平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 要点梳理：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条. ● 平行四边形的性质 1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等； 2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等； 3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分； 4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心. 要点梳理：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系. （2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择. （3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决. ● 平行四边形的判定 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 5.对角线互相平分的四边形是平行四边形. 要点梳理：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法. （2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据. ● 平行线间的距离 1.两条平行线间的距离： （1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值. （2）平行线间的距离处处相等 任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度. 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 2.平行四边形的面积： 平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等. ★ 实操夯实 一．选择题（共19小题） 1．若平行四边形中两个内角的度数比为1：3，则其中较小的内角是（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【解答】解：设平行四边形中两个内角分别为x°，3x°， 则x+3x＝180， 解得：x＝45°， ∴其中较小的内角是45°． 故选：B． 2．下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．∠A＝∠B，∠C＝∠D B．AB＝AD，CB＝CD C．AB＝CD，AD＝BC D．AB∥CD，AD＝BC 【解答】解： A、∵∠A＝∠B，∠C＝∠D，∠A+∠B+∠C+∠D＝360°， ∴2∠B+2∠C＝360°， ∴∠B+∠C＝180°， ∴AB∥CD，但不能推出其它条件，即不能推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误； B、根据AB＝AD，CB＝CD不能推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误； C、∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确； D、由AB∥CD，AD＝BC也可以推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误； 故选：C． 3．能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（　　） A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D C．AB＝CD，AD＝BC D．AB＝AD，CB＝CD 【解答】解：如图所示，根据平行四边形的判定定理知，只有C符合条件． 故选：C． 4．如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE＝2，则两平行线AD与BC间的距离为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【解答】解：过点P作MN⊥AD， ∵AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，PE⊥AB于点E， ∴AP⊥BP，PN⊥BC， ∴PM＝PE＝2，PE＝PN＝2， ∴MN＝2+2＝4； 故选：A． 5．如图，直线a∥b，点A、B分别在直线a、b上，∠1＝45°，若点C在直线b上，∠BAC＝105°，且直线a和b的距离为3，则线段AC的长度为（　　） A． B． C．3 D．6 【解答】解：过C作CD⊥直线a， ∴∠ADC＝90°， ∵∠1＝45°，∠BAC＝105°， ∴∠DAC＝30°， ∵CD＝3， ∴AC＝2CD＝6， 故选：D． 6．如图，平行四边形ABCD中，∠ADC的平分线交BC于E，若AD＝8，BE＝2，则AB＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝8，CD＝AB， 又∵BE＝2， ∴CE＝8﹣2＝6， ∵DE平分∠A