专题11 运用勾股定理逆定理证垂直-2020-2021学年八年级数学下册常考题专练（人教版）

专题11运用勾股定理逆定理证垂直 ★ 知识归纳 ● 勾股定理知识网络 证垂直的方法较多，用勾股定理的逆定理证垂直可实现由数向形的转化． ★ 实操夯实 一．填空题（共1小题） 1．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝CD＝1，AD＝，则四边形的面积为　 　． 【解答】解：连接AC， 在Rt△ABC中，AC＝＝， AC2+CD2＝5+1＝6，AD2＝6， 则AC2+CD2＝AD2， ∴△ACD为直角三角形， ∴四边形ABCD的面积＝×1×2+×1×＝1+， 故答案为：1+． 二．解答题（共12小题） 2．如图所示，已知△ABC是边长为6cm等边三角形，动点P、Q同时从A、B出发，分别在AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点停止运动，设运动的时间为t （s），解答下列问题： （1）当t何值时，△PBQ为等边三角形？ （2）当t何值时，△PBQ为直角三角形？ 【解答】解：（1）由题意得：AP＝t，BQ＝2t，则BP＝6﹣t， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°， 当BP＝BQ时，△PBQ是等边三角形，如图1， 则6﹣t＝2t， t＝2， ∴当t＝2时，△PBQ为等边三角形； （2）分两种情况： ①如图2，当∠BQP＝90°时， ∵∠B＝60°， ∴∠BPQ＝30°， ∴BP＝2BQ， 则6﹣t＝2×2t， t＝， ②如图3，当∠BPQ＝90°时， ∵∠B＝60°， ∴∠BQP＝30°， ∴BQ＝2BP， 2t＝2（6﹣t）， t＝3， 由题意得：0≤t≤3， ∴当t＝或3时，△PBQ为直角三角形． 3．如图，在△ABC中，D是边BC上一点，若AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求BC的长． 【解答】解：在△ABD中，AB＝10，BD＝6，AD＝8， ∴AB2＝BD2+AD2， ∴△ABD为直角三角形， ∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°， 在Rt△ADC中，AD＝8，AC＝17， 根据勾股定理得：DC＝＝15， ∴BC＝BD+CD＝6+15＝21． 4．如图在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°，求∠DAB的度数． 【解答】解：如右图所示，连接AC， ∵∠B＝90°，AB＝BC＝2， ∴AC＝＝2，∠BAC＝45°， 又∵CD＝3，DA＝1， ∴AC2+DA2＝8+1＝9，CD2＝9， ∴AC2+DA2＝CD2， ∴△ACD是直角三角形， ∴∠CAD＝90°， ∴∠DAB＝45°+90°＝135°． 故∠DAB的度数为135°． 5．如图所示，四边形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，BC＝13cm，CD＝12cm，∠A＝90°，求四边形ABCD的面积． 【解答】解：连接BD， ∵AB＝3cm，AD＝4cm，∠A＝90° ∴BD＝5cm，S△ABD＝×3×4＝6cm2 又∵BD＝5cm，BC＝13cm，CD＝12cm ∴BD2+CD2＝BC2 ∴∠BDC＝90° ∴S△BDC＝×5×12＝30cm2 ∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BDC＝6+30＝36cm2． 6．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4，CD＝4，AD＝2，求四边形ABCD的面积． 【解答】解：连接AC，如图所示： ∵∠B＝90°，AB＝2，BC＝4， ∴AC＝， ∵CD＝4，AD＝2， ∴， ∴AC2+CD2＝AD2．， ∴△ACD是直角三角形， ∴四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积＝． 7．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝10，AD＝10． （1）求四边形ABCD的面积． （2）求对角线BD的长． 【解答】解：（1）连接AC， ∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8， ∴AC＝＝＝10， ∵CD＝10，AD＝10， ∴CD2+AC2＝102+102＝200，AD2＝（10）2＝200， ∴CD2+AC2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形， ∴四边形ABCD的面积是：＝＝24+50＝74， 即四边形ABCD的面积是74； （2）作DE⊥BC交BC的延长线于点E，则∠DEC＝90°， ∵△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°， ∴∠DCE+∠ACB＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CAB+∠ACB＝90°， ∴∠DCE＝∠CAB， 在△ABC和△CED中， ， ∴△ABC≌△CED（AAS）， ∴AB＝CE，BC＝ED， ∵AB＝6，BC＝8， ∴CE＝6，ED＝8， ∴BE＝BC+CE＝8+6＝14， ∴BD＝＝＝2． 8．如图，四边形ABCD中，AB＝17，BC＝8，CD＝12，AD＝9，∠D＝9