专题10 勾股定理列方程-2020-2021学年八年级数学下册常考题专练（人教版）

专题10勾股定理列方程 ★ 知识归纳 ● 勾股定理知识网络 运用勾股定理列方程是数形结合思想的体现． ★ 实操夯实 一．选择题（共15小题） 1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交CB于D，CD＝3，BD＝5，求AD的长． 【解答】解：过D作DE⊥AB， ∵AD平分∠CAB， ∴∠C＝∠DEA＝90°，CD＝DE＝3， ∵BD＝5， ∴EB＝＝4， 在Rt△ACD和Rt△AED中， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AE＝AC， 设AC＝x，则AE＝x，AB＝x+4， x2+82＝（x+4）2， 解得：x＝6， ∴AD＝＝3． 2．如图△BAC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CO，AO为△ABC的角平分线，求AO，CO的长． 【解答】解：∵△BAC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB＝＝10． 过点O作OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB，垂足分别为点D，点E，点F， ∵AO为△ABC的角平分线， ∴OD＝OE＝OF， 设OD＝OE＝OF＝r， ∴S△ABC＝S△AOC+S△BOC+S△AOB，即×6×8＝×6r+×8r+×10r，解得r＝2， ∴CD＝CE＝2， ∴AD＝6﹣2＝4． 在Rt△AOD中， ∵AD＝4，OD＝2， ∴OA＝＝2． 同理，OC＝＝＝2． 3．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E．若AC＝6，AB＝10，求DE的长． 【解答】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，DC⊥AC， ∴DE＝CE， 在Rt△ACD和Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AE＝AC＝6， ∵AB＝10， ∴BE＝4， 在Rt△ABC中，可求得BC＝8， 设DE＝x，则CD＝x，BD＝8﹣x， 在Rt△BDE中，由勾股定理可得x2+42＝（8﹣x）2， 解得x＝3， 即DE的长为3． 4．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝4，求S△ABC． 【解答】解：设BD＝x，则CD＝BC﹣BD＝7﹣x， 在直角△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝52﹣x2， 在直角△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2＝（4）2﹣（7﹣x）2， 则52﹣x2＝（4）2﹣（7﹣x）2， 解得：x＝3， 则AD＝＝＝4， 则S△ABC＝BC•AD＝×7×4＝14． 5．（1）如图1，∠ACB＝90°，图中有阴影的三个半圆的面积S1，S2，S3有什么关系？ （2）如图2，∠ACB＝90°，△ABC的面积为20，在AB的同侧，分别以AB，BC，AC为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为　20　． 【解答】解：（1）S1＝π（）2＝， 同理S2＝，S3＝， ∵BC2+AC2＝AB2， ∴S1+S2＝S3； （2）S阴影＝S1+S2+S△ABC﹣S3＝S△ABC， 则S阴影＝S△ABC＝20． 故答案为：20． 6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝8，BC＝6，则线段AD的长度是多少？ 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴由勾股定理得：AB＝＝10 又∵CD⊥AB ∴S△ABC＝AC×BC＝AB×CD ∴×8×6＝×10×CD ∴CD＝4.8 ∴在Rt△ADC中，由勾股定理得： AD＝＝＝6.4 答：线段AD的长度是6.4． 7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AD＝1，BD＝4，求AC的长． 【解答】解：如图，∵AD＝1，BD＝4， ∴AB＝AD+BD＝5． 又∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴AC2＝AD•AB＝1×5＝5，即AC＝． 8．如图，AD是直角三角形△ABC斜边上的高 （1）若AD＝6cm，CD＝12cm，求BD的长； （2）若AB＝15cm，BC＝25cm，求BD的长． 【解答】解：（1）∵AD是直角三角形△ABC斜边上的高， ∴AD2＝CD•BD， ∴BD＝＝3（cm）； （2）∵AD是直角三角形△ABC斜边上的高， ∴AB2＝BD•BC， ∴BD＝＝9（cm）． 9．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，且∠CAD＝2∠BAD，BD＝3，CD＝8，求AB的长． 【解答】解：作∠DAC的平分线交BC于点E，作EF⊥AC于点F；如图所示： 则∠BAD＝∠DAE＝∠EAF． ∵∠CAD＝2∠BAD， ∴∠BAD＝∠EAD， 在△ADB与△ADE中， ， ∴△ADB≌△ADE（ASA）． 同理可得，△ADB≌△ADE≌△AFE， ∴BD＝DE＝EF＝3，AD＝AF． ∵EC＝CD﹣DE＝5， ∴FC＝， 设AD＝AF＝x，则在Rt△ACD中，x2+82＝（x+4）2， 解得x＝6， ∴AD＝6， ∴AB＝＝＝3． 10．如图，