专题09 勾股定理与特殊角-2020-2021学年八年级数学下册常考题专练（人教版）

专题09勾股定理与特殊角 ★ 知识归纳 ● 勾股定理知识网络 遇到非直角三角形的求值问题时，一般要作垂线构造含特殊角的直角三角形来解决． ★ 实操夯实 一．选择题（共2小题） 1．为了打造“绿洲”，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，已知AB＝10米，BC＝15米，∠B＝150°，这种草皮每平方米售价2a元，则购买这种草皮需（　　）元． A．75a B．50a C．a D．150a 【解答】解：如图，作BA边的高CD，设与AB的延长线交于点D， ∵∠ABC＝150°， ∴∠DBC＝30°， ∵CD⊥BD，BC＝15米， ∴CD＝7.5米， ∵AB＝10米， ∴S△ABC＝AB×CD＝×10×7.5＝37.5（平方米）， ∵每平方米售价2a元， ∴购买这种草皮至少为37.5×2a＝75a（元）， 故选：A． 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝2，BC＝，则CD为（　　） A． B．2 C． D．3 【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝， 根据勾股定理得：AB＝＝3， ∵△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB， ∴S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，即AC•BC＝AB•CD， ∴CD＝＝2， 故选：B． 二．填空题（共2小题） 3．如图，△ABC中∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，AC＝，则AD的长是　2　． 【解答】解：∵△ABC中∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠CAB＝60°， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠CAD＝30°， ∵AC＝， ∴cos∠CAD＝＝， ∴AD＝2， 故答案为2． 4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，CD＝2，则AB的长为　　． 【解答】解：∵∠A＝30°， ∴AC＝2CD＝4， ∵cos30°＝＝， ∴AB＝AC×＝， 故答案为 ． 三．解答题（共7小题） 5．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＝105°，AC＝2，求BC的长． 【解答】解：经过A点作AD⊥BC于D，则∠ADB＝∠ADC＝90°． ∵∠B＝45°，∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝45°， ∵∠BAC＝105°， ∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝105°﹣45°＝60°， ∴∠C＝30°， ∴AD＝AC＝1，CD＝AD＝． 在Rt△ABD中，BD＝AD＝1， ∴BC＝CD+BD＝+1． 6．如图，四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AB＝4，CD＝2，求BC和AD的长． 【解答】解：延长AD，BC交于点E， ∵∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°， ∴∠E＝30°， ∵AB＝4， ∴AE＝2AB＝8， ∴BE＝＝4， ∵CD＝2， ∴CE＝2CE＝4， ∴BC＝BE﹣CE＝4﹣4， ∵DE＝＝2， ∴AD＝AE﹣DE＝8﹣2． 7．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝120°，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝4，CD＝5，求四边形的面积． 【解答】解：延长DA和CB交于O， ∵AB⊥AD，BC⊥CD， ∴∠DAB＝∠C＝∠OAB＝90°， ∵∠D＝60°， ∴∠O＝30°， ∵AB＝4，DC＝5， ∴OB＝2AB＝8，OD＝2DC＝10， 由勾股定理得：OA＝＝4，OC＝＝5， ∴四边形ABCD的面积是S△OCD﹣S△OAB＝×OC×CD﹣×OA×AB＝×5×5﹣×4×4＝． 8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B＝60°，∠C＝45°，AC＝2． （1）求AD的长； （2）求BD的长． 【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∠C＝45°， ∴AD＝CD， 由勾股定理得，AD2+CD2＝AC2，即AD2+AD2＝22， 解得，AD＝； （2）∵∠ADB＝90°，∠B＝60°， ∴∠BAD＝30°， ∴AB＝2BD， 由勾股定理得，AD2+BD2＝AB2，即（）2+BD2＝（2BD）2， 解得，BD＝． 9．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC＝105°． （1）若AD＝2，求AB； （2）若AB+CD＝2+2，求AB． 【解答】解：（1）过D点作DE⊥AB，过点B作BF⊥CD， ∵∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC＝105°， ∴∠ADC＝360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC＝360°﹣45°﹣45°﹣105°＝165°， ∴∠BDF＝∠ADC﹣∠ADB＝165°﹣105°＝60°， △ADE与△BCF为等腰直角三角形， ∵AD＝2， ∴AE＝DE＝＝， ∵∠ABC＝105°， ∴∠ABD＝105°﹣（180°﹣45°﹣60°）＝30°， ∴BE＝＝＝， ∴AB＝； （2）设DE＝x，则AE＝x，BE＝＝＝， ∴BD＝＝2x， ∵∠BDF＝60°， ∴∠DBF＝30°，