专题08 勾股定理的应用-2020-2021学年八年级数学下册常考题专练（人教版）

专题08勾股定理的应用 ★ 知识归纳 ● 勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）求作长度为的线段. ★ 实操夯实 一．选择题（共8小题） 1．一条河的宽度处处相等，小强想从河的南岸横游到北岸去，由于水流影响，小强上岸地点偏离目标地点200m，他在水中实际游了520m，那么该河的宽度为（　　） A．440m B．460m C．480m D．500m 【解答】解：根据已知数据，运用勾股定理求得AB＝＝＝480m， 答：该河流的宽度为480m． 故选：C． 2．一个圆桶底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为（　　） A．20cm B．50cm C．40cm D．45cm 【解答】解：如图，AC为圆桶底面直径， ∴AC＝24cm，CB＝32cm， ∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度， ∴AB＝＝40cm． 故桶内所能容下的最长木棒的长度为40cm． 故选：C． 3．一根竹竿插到水池中离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，若把竹竿的顶端拉向岸边，则竿顶刚好接触到岸边，并且和水面一样高，问水池的深度为（　　） A．2m B．2.5cm C．2.25m D．3m 【解答】解：在直角△ABC中，AC＝1.5cm．AB﹣BC＝0.5m． 设水池BC＝xm，则AB＝（0.5+x）m． 根据勾股定理得出： ∵AC2+BC2＝AB2 ∴1.52+x2＝（x+0.5）2 解得：x＝2． 故选：A． 4．如图，△ABE、△BCF、△CDG、△DAH是四个全等的直角三角形，其中，AE＝5，AB＝13，则EG的长是（　　） A．7 B．6 C．7 D．7 【解答】解：由勾股定理得，BE＝＝＝12， ∵△ABE、△BCF、△CDG、△DAH是四个全等的直角三角形， ∴∠AEB＝∠BFC＝∠CGD＝90°，BF＝CG＝DH＝AE＝5， ∴∠FEB＝∠EFC＝∠FGD＝90°，EF＝EH＝12﹣5＝7， ∴四边形EFGH为正方形， ∴EG＝＝7， 故选：A． 5．如图，笑笑将一张A4纸（A4纸的尺寸为210mm×297mm，AC＞AB）剪去了一个角，量得CF＝90mm，BE＝137mm，则剪去的直角三角形的斜边长为（　　） A．50 mm B．120 mm C．160 mm D．200 mm 【解答】解：延长BE、CF相交于D，则EFD构成直角三角形， 运用勾股定理得： EF2＝（210﹣90）2+（297﹣137）2＝1202+1602＝40000， 所以EF＝200． 则剪去的直角三角形的斜边长为200mm． 故选：D． 6．如图，一轮船以8海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以6海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1小时后，则两船相距（　　） A．6海里 B．8海里 C．10海里 D．20海里 【解答】解：由题意可得：8×1＝8（海里），6×1＝6（海里）． 则两船相距：＝10（海里）． 故选：C． 7．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5米，则小巷的宽为（　　） A．2.5米 B．2.6米 C．2.7米 D．2.8米 【解答】解：在Rt△ABC中， AB＝＝＝2.5（米）， ∴A′B＝2.5米， 在Rt△A′BD中， BD＝＝＝2（米）， ∴BC+BD＝2+0.7＝2.7（米）， 故选：C． 8．为了打造“绿洲”，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，已知AB＝10米，BC＝15米，∠B＝150°，这种草皮每平方米售价2a元，则购买这种草皮需（　　）元． A．75a B．50a C．a D．150a 【解答】解：如图，作BA边的高CD，设与AB的延长线交于点D， ∵∠ABC＝150°， ∴∠DBC＝30°， ∵CD⊥BD，BC＝15米， ∴CD＝7.5米， ∵AB＝10米， ∴S△ABC＝AB×CD＝×10×7.5＝37.5（平方米）， ∵每平方米售价2a元， ∴购买这种草皮至少为37.5×2a＝75a（元）， 故选：A． 二．填空题（共2小题） 9．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章节中记载了一道“折竹抵地”的问题：“今有竹高一尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，后来竹子折断，其竹竿恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远，如图所示，问：原处竹子（AC）还剩　4.55　尺？（1丈＝10尺）． 【