专题06 勾股定理及证明-2020-2021学年八年级数学下册常考题专练（人教版）

专题06勾股定理及证明 ★ 知识归纳 ● 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 要点梳理：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. 　 （3）理解勾股定理的一些变式： ，， . ● 勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以. 　　　　　 　　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　　　 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　　 　　　　 ，所以. ● 勾股定理的作用 1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2. 用于解决带有平方关系的证明问题； 3. 利用勾股定理，作出长为的线段. ★ 实操夯实 一．选择题（共13小题） 1．在Rt△ABC中，两条直角边的长分别为5和12，则斜边的长为（　　） A．6 B．7 C．10 D．13声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 【解答】解：由勾股定理得，斜边长＝＝13， 故选：D． 2．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP且PP1＝1，得OP1＝；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2…依此法继续作下去，得OP2017＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵OP＝1，OP1＝，OP2＝，OP3＝＝2， ∴OP4＝＝， …， OP2017＝． 故选：D． 3．直角三角形两直角边长为a，b，斜边上高为h，则下列各式总能成立的是（　　） A．ab＝h2 B．a2+b2＝2h2 C．+＝ D．+＝ 【解答】解：根据直角三角形的面积可以导出：斜边c＝． 再结合勾股定理：a2+b2＝c2． 进行等量代换，得a2+b2＝． 两边同除以a2b2，得+＝． 故选：D． 4．如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（　　） A．3cm2 B．4cm2 C．5cm2 D．6cm2 【解答】解：由勾股定理得：＝5（cm）， ∴阴影部分的面积＝5×1＝5（cm2）； 故选：C． 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4．分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于（　　） A．2π B．3π C．4π D．8π 【解答】解：∵S1＝π（）2＝πAC2，S2＝πBC2， ∴S1+S2＝π（AC2+BC2）＝πAB2＝2π． 故选：A． 6．若一直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边长为（　　） A．10 B． C．10或 D．14 【解答】解：设第三边为x， ①当8是斜边，则62+x2＝82， ②当8是直角边，则62+82＝x2解得x＝10， 解得x＝2 ． ∴第三边长为10或2． 故选：C． 7．如图，在数轴上，点A，B对应的实数分别为1，3，BC⊥AB，BC＝1，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴正半轴于点P，则P点对应的实数为（　　） A．+1 B． C．+3 D．4﹣ 【解答】解：∵点A，B对应的实数分别为1，3， ∴AB＝2， ∵BC⊥AB， ∴∠ABC＝90°， ∴AC＝＝＝， 则AP＝， ∴P点对应的实数为+1， 故选：A． 8．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，△PAB中AB边上的高等于AB的长度，△QBC中BC边上的高等于BC的长度，△HAC中AC边上的高等于AC的长度，且△PAB，△QBC的面积分别是10和8，则△ACH的面积是（　　） A．2 B．4 C．6 D．9 【解答】解：在Rt△ABC中，∠BCA＝90°， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴AC2+BC2＝AB2， ∵△PAB中AB边上的高等于AB的长度，△QBC中BC边上的高等于BC的长度，△HAC中AC边上的高等于AC的长度，且△PAB，△QBC的面积分别是10和8， ∴△ACH的面积是10﹣8＝2． 故选：A． 9．下面是证明勾股定理的四个图形，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 10．如图，分别以直角△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，若S2＝7，S3＝2，那么S1＝（　　） A．9 B．5 C．53 D．45 【解答】解：在Rt△AB