专题01 计数原理【专项训练】-2020-2021学年高二数学（理）下学期期中专项复习（人教A版选修2-3+4-4+4-5）

专题01计数原理【专项训练】-2020-2021学年高一数学下学期期中专项复习 一、单选题 1．（2021·天津市第八中学高二月考（文））5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择的种数为（ ） A．60 B．125 C．240 D．243 【答案】D 【分析】 有分步计算原理即可得出结果. 【详解】 每个同学由3种选择方式，5名同学共有 种选择方式 故选：D 2．（2021·湖南高二月考）某小区的道路网如图所示，则由A到C的最短路径中，不经过B的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 先计算由A到C最短路径的种数，然后再计算经过B的路径的情况，计算出经过B的概率，利用对立事件计算出不经过B的概率. 【详解】 由A到C最短路径的走法有 种，由A到B有 种，由B到C有 种，故经过B的概率为 ，不经过B的概率为 . 故选：A. 3．（2021·全国高三专题练习（理）） 年二十国集团( )领导人峰会将在日本大阪开幕，为了欢迎二十国集团政要及各位来宾的到来，日本大阪市长决定举办大型歌舞晚会，现从 、 、 、 、 共 名歌手中任选 人出席演唱活动，当 名歌手中有 和 时， 需排在 的前面出场(不一定相邻)，则不同的出场方法有（ ）． A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 【答案】A 【分析】 运用分类计算原理，结合组合与排列的定义进行求解即可. 【详解】 第一种情况： 和 都不选时方法有 种， 第二种情况： 和 只选一个时方法有 种， 第三种情况： 和 都选时方法有 种， 则不同的出场方法有 种， 故选：A 4．（2021·浙江宁波市·镇海中学高二期末）将4个不同的小球放入3个不同的盒子，则每个盒子中至少有1个小球的放法总数为（ ） A．18 B．24 C．36 D．72 【答案】C 【分析】 先将4个不同的小球分为3组，再将三组放在3个不同的盒子中，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】 由题意，先将4个不同的小球分为3组，其中一组2个，一组1个，一组1个， 共有 种不同的分法， 再将三组放在3个不同的盒子中，共有 种不同的放法， 由分步计数原理，可得共有 种不同的方法. 故选：C. 5．（2021·全国高三专题练习（理））已知二项式 的展开式中含 的项的系数为 ，则实数 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 写出二项式的通项公式，计算含 的项时 的取值，代入通项公式求系数，可解得 的值. 【详解】 解：二项式 的通项公式 ， 当含 的项时： ，此时 ，则系数为 ，解得： . 故选：D. 6．（2021·江西高三其他模拟（理））在 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，则含 的项系数为（ ） A．45 B．-45 C．120 D．-120 【答案】A 【分析】 先由只有第六项的二项式系数最大，求出n=10；再由展开式的所有项的系数和为0，用赋值法求出a= -1,用通项公式求出 的项的系数. 【详解】 ∵在 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大， ∴在 的展开式有11项，即n=10； 而展开式的所有项的系数和为0， 令x=1，代入 ，即 ，所以a= -1. ∴ 是展开式的通项公式为： ， 要求含 的项，只需10-2r=6，解得r=2，所以系数为 . 故选：A 【点睛】 二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析． 7．（2021·铅山县第一中学高二开学考试（理））一个五位自然 ， ，当且仅当 时称为“凹数” 如32014，53134等 ，则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为（ ） A．110 B．137 C．145 D．146 【答案】D 【分析】 分 ， ， 和 四种情况，分别利用组合数求解即可． 【详解】 分四种情况进行讨论：（1）当 时， 和 有 种排法， 和 有 种排法，此时共 个；（2）当 时，有 个；（3）当 时，有 个；（4）当 时，有 个．由分类加法原理得满足条件的五位自然数中“下凸数”共有 个． 故选：D 【点睛】 思路点晴：本题考查排列组合基础知识，意在考查学生分类讨论思想、新定义数学问题的理解运用能力和基本运算能力．有时解决某一问题是要综合运用几种求解策略．在处理具体问题时，应能合理分类与准确分步．首先要弄清楚： 1.要完成的是一件什么事 2.完成这件事有几类方法 3.每类方法中，又有几个步骤．这样才会不重复、不遗漏地解决问题． 8．（2020·河南高三月考（理））若 ，且 ，则 的值为（ ） A．4 B．6 C．12 D．18 【答案】B 【分析】 利用二项式展开式的通项公式求出 ，代入方程求解即可． 【详解】 根据二项展开式的通项公式，得