专题08 万有引力的综合应用-【教育机构专用】2021年春季高一物理辅导讲义

专题8 万有引力的综合应用（教师版） 一、目标要求 目标要求 重、难点 求解中心天体质量与密度 重难点 宇宙速度与天体自转不瓦解问题 重点 双星问题 重点 天体运动中的追及相遇问题 重点 二、知识点解析 1．中心天体的质量求解 (1)利用重力加速度g求解 若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力，则有：，可以求得地球质量． (2)利用圆周运动求解 若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为R，根据万有引力提供向心力，即： ，可求得地球质量． 若已知月球绕地球匀速圆周运动的半径R和月球运动的线速度v，由于地球对月球的万有引力提供月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律得，解得地球的质量为． 若已知月球运行的线速度v和运行周期T，由于地球对月球的万有引力提供月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律得，，将以上两式消去R，解得． 2．中心天体的密度求解 通过观察绕天体做匀速圆周运动的卫星的周期T、半径r，由万有引力等于向心力，即，得天体质量 (1)若已知天体的半径R，则天体的密度 (2)若天体的卫星环绕天体表面运动，其轨迹半径r等于天体的半径R，其周期为T，则天体的密度 ． 3．宇宙速度及其意义 (1)第一宇宙速度 人造卫星的环绕速度随着卫星轨道半径r的增大而减小，当轨道半径取最小值R时，人造卫星的最大环绕速度即为第一宇宙速度．第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度． ①第一宇宙速度的两种求解方法 方法一：由于地球对卫星的万有引力是卫星环绕运动的向心力，即，则有．式中R取地球半径 km，地球质量 kg，则有第一宇宙速度 km/s． 方法二：由于地球对卫星的万有引力约等于卫星所在处的重力，这个重力就是卫星环绕地球运动的向心力．所以，则．式中R取地球半径 km，g为地球重力加速度 m/s2，则有第一宇宙速度 km/s． 由第一宇宙速度的两种表达式可以看出，第一宇宙速度的值由中心星体决定，可以说任何一颗恒星都有自己的第一宇宙速度，都应以或表示，式中G为万有引力常量，M为中心星体的质量，g为中心星体表面的重力加速度，R为中心星体的半径． ②第一宇宙速度的意义 第一宇宙速度是物体围绕地球做匀速圆周运动所需要的最小发射速度，又称最小发射速度、最大环绕速度、近地环绕速度，其值为： m/s． 第一宇宙速度是人造卫星的最小地面发射速度．一个质量为m的卫星在地面被发射入轨，设发射速度为v0． 若，则，即卫星入轨后恰好环绕地球做匀速圆周运动． 若v0 > v1，则，即卫星所受万有引力不足以提供足够的向心力，卫星入轨后将先做离心运动，其轨迹可能是椭圆，抛物线或双曲线． 若v0 < v1，则，即卫星所受万有引力大于卫星所需向心力．卫星将做靠近圆心的运动而落回地面．可见要在地面上将卫星送入轨道，需要 km/s，即人造卫星的最小地面发射速度为km/s． (2)第二宇宙速度 当卫星的发射速度等于或大于11.2 km/s的时候，物体就可以挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运动的人造行星，或飞到其它行星上去，我们把v2=11.2 km/s叫做第二宇宙速度，也称为脱离速度．第二宇宙速度是挣脱地球引力束缚的最小发射速度． 如果卫星的发射速度大于7.9 km/s而小于11.2 km/s，卫星将做椭圆运动． (3)第三宇宙速度 当卫星的发射速度等于或大于16.7 km/s时，物体就可以摆脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间中去，我们把v3=16.7 km/s叫做第三宇宙速度，也称为逃逸速度．第三宇宙速度是挣脱太阳系而飞向太阳系以外的宇宙空间所需要的最小发射速度． 4．天体运动中的追及相遇问题 两天体(行星、卫星或探测器)相遇，实际上是指两天体相距最近．若两环绕天体的运动轨道在同一平面内，则两环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体的同侧时相距最近．两环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体的异侧时相距最远． 设卫星1(离地球近些)与卫星2某时刻相距最近，如果经过时间t，两卫星与地心连线转过的角度相差的整数倍，则两卫星又相距最近，即：；如果经过时间，两卫星与地心连线半径转过的角度相差的奇数倍，则两卫星相距最远，即：．. 5．天体自转不瓦解问题 天体自转时，天体表面的各部分随天体做匀速圆周运动，由于赤道部分所需向心力最大，赤道上质量为Δm的一部分将离未离天体的临界条件是：天体对该部分的支持力为零．此时对Δm这部分运用万有引力和牛顿第二定律有：或，若已知天体的质量和半径或天体的平均密度，可求出天体自转的最大角速度；若已知天体的最大自转角速度或最小周期，可求出天体的最小平均密度． 6．双星问题 在天体运动中，将两颗彼此相距较近且在相互之间万有引力作用下，绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周