2021届上海市嘉定区高考数学二模试卷

嘉定区2020学年高三年级第二次质量调研测试 数 学 试 卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．已知集合 ， ，则 ____________． 2．已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 ____________． 3．已知等差数列 满足 ，则 ____________． 4．若实数 、 满足 ，则 的最大值为_____________． 5．已知函数 （ ，且 ）．若 的反函数的图像经过点 ，则 _____________． 6．《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”． 已知某“鳖臑”的三视图如图所示，则该“鳖臑”的体积为 _____________． 7．已知正数 、 满足 ，则 的最小值为___________． 8．设数列 的前 项和为 ，且满足 ， 则 ___________． 9．将 的二项展开式的各项重新随机排列，则有理项互不相邻的概率为_______． 10．已知点 、 是双曲线 （ ， ）的左、右顶点，点 是该双曲线上异于 、 的另外一点，若 是顶角为 的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是_____________． 11．已知函数 若对任意的 ，都存在唯一的 ，满足 ，则实数 的取值范围是______________． 12．在平面直角坐标系 中，起点为坐标原点的向量 满足 ，且 ， （ ）．若存在向量 、 ，对于任意实数 ，不等式 成立，则实数 的最大值为___________． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在 答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．“函数 （ 、 ，且 ）的最小正周期为 ”是“ ”的（ ）． （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件 14．已知一组数据 、 、 、 、 的平均数是 ，则这组数据的方差是 （ ）． （A） （B） （C） （D） 15．设直线 与椭圆 交于 、 两点，点 在直线 上． 若 ，则实数 的取值范围是 （ ）． （A） （B） （C） （D） 16．已知函数 ，则不等式 的解集为 （ ）． （A） （B） （C） （D） 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 在矩形 中， ， ，矩形 绕 旋转形成一个圆柱． 如图，矩形 绕 顺时针旋转 至 ，线段 的中点为 ． （1）求证： EMBED Equation.3 ； （2）求异面直线 与 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 设常数 ，函数 ． （1）若函数 是奇函数，求实数 的值； （2）若函数 在 时有零点，求实数 的取值范围． 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地 进行改造．如图所示，平行四边形 区域为停车场，其余部分建成绿地，点 在围墙 弧上，点 和点 分别在道路 和道路 上，且 米， ，设 ． （1）当 时，求停车场的面积（精确到 平方米）； （2）写出停车场面积 关于 的函数关系式，并求当 为何值时，停车场面积 取得最大值． 20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上． （1）求抛物线 的方程； （2）若 ，求点 的坐标； （3）过点 （ ）作两条互相垂直的直线分别交抛物线 于 、 、 、 四点，且点 、 分别为线段 、 的中点，求 的面积的最小值． 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知数列 满足： ， ， ， 为数列 的前 项和． （1）若 是递增数列，且 成等差数列，求 的值； （2）已知 ，且 是递增数列， 是递减数列，求数列 的通项公式； （3）已知 ，对于给定正整数 ，试探究是否存在一个满足条件的数列 ，使得 ．若存在，写出一个满足条件的数列 ；若不存在，请说明理由． 嘉定区2020学年高三年级第二次质量调研测试 数 学 试 卷 一、填空题（本