01 利用充分必要条件巧解恒成立问题-《中学生数理化》高二数学2021年3月刊

皇型中学生款肥化 调分件巧解戏立 ■河南省濮阳市中小学教育教研室张献伟 恒成立问题是高考函数与导数综合问题问题转化为不含参的最值问题,即 的一种常见考查形式,处理它的常规方法有:c(lnx-x)+x∠-m,此时需求左边不含 分离参数法,讨论含参函数的最值法。这两 x2+1 种方法都有各自的难点:分离参数法在处理参函数的最大值,可以预判出计算下去是非 不含参的函数时,函数形式较为复杂,不易求 常困难的。 最值,或最值无法取到,需要用洛必达法则求 变换思考角度,直接求含参函数h(x) 极限;而讨论含参函数的最值法往往要分类elnx+mx2+(1-e)x+m的最大值, 讨论确定恰当的分类标准。有些恒成立间(x)=c(nx+1-x-1)+2mx+1 题中的解析式较为复杂,指数函数、对数函 数、多项式函数都有,在解决的过程中,以上h(x)的正负会因参数m的变化而变化,讨 两种方法都无法进行下去,这就需要我们变论起来比较困难 换思维角度,找到更简捷有效的方法。充分 常规解法遇到困难,我们可大胆尝试,小 必要条件的使用,可将恒成立问题转化为不心验证。代入x=1,则h(1)=0+m+ 等式的证明问题,进一步可利用不等式的证c+m≤0,即m≤ 明方法(如放缩法)加以处理。下面以2020 年福建省高三毕业班质量检查和南昌四校联 又因为m为正数,所以0<m≤ 考测试卷的导数题为例,就如何突破难点展此为必要条件,最后的结果一定是它的子集。 开讨论,并提供解法供同学们在学习中参考如果我们再能证明其充分性,即证明当0<n2 与借鉴 题目1(2020年福建省高三毕业班质 量检查)已知函数f(x)=x-lnax。 m≤0恒成立,那么0<m≤ 就是最后 (1)求f(x)的极值; 的结果。这就将恒成立求参数范围的问题转 (2)若elnx+mx2+(1-e)x+m≤0,化为证明不等式的问题,可以采用放缩法,指 求正实数m的取值范围 数找朋友等方法简化所求问题 解析:(1)f(x)的极小值为1-2lnla|, 证明过程如下:两边同除以e,化为lnx 无最小值,解题过程略 (2)此问为不等式恒成立求参数的取值 x≤0(“对数单身狗,指数找 范围问题,首先想到的是分离参数法,把含参朋友” 中学生数理化望学如埴与奶 因为lnx≤x-1,所以lnx-x≤-1。当然有时也会出现不充分的情况,需要继续 此时只需证明 mx2+x+m≤1即可。 转换思考角度,继续尝试,验证。 题目2(2020年江西南昌四校联考)已 令t(x)=mx+x+m,求导得t 知函数f(x) 4,其中e为自然对数的 mx2+(2m-1)x-m+ 底数 )f'(x),判断 (x-1)(mx-m+1) g(x)在(-1,+∞)上的单调性; (2)若函数F(x)=ln(x+1)-af(x) 令t'(x)=0,得x=1或x= 4在定义域内无零点,试确定正数a的取 因为0<m≤ 解析:(1)g(x)在(-1,+∞)上单调递 增,解题过程略 所以t'(x)在(0,1)上为正,在(1,+∞) (2)由题知F(x)=ln(x+1) 上为负,即t(x) 在(0,1)上单 +4,当x→-1时,F(x)→ 调递增,在(1,+∞)上单调递减,t(x)≤t(1)所以在定义域内无零点,即F(x)<0在x∈ 2m+1 (-1,+∞)上恒成立。 这是我们熟悉的恒成立问题,首先想到 因为0<m≤,所以1(1)=2m+ 1的是分离参数法,把含参问题转化为不含参 的最值问题 x2+x+ 1.即 ≤1,原问题得证 +4<0 所以正实数m的取值范围是0<m≤ 转化为lm(x+1)+4<a(2-4),需考虑 也可优化:对于lnx-x+mx+x+m 的正负,结合图像或 1可知其 ≤0的证明,可发现m的系数x2+1为正值 为正,将之除到左边得 x+ ln(x+1)+4 时需要求函数h(x) 的最大 2(x+1)+ 值,可以预判求h(x)的导数是比较难处理 (x2+1)+ 和 ≤1,此时是无参数的不 不妨变换思考角度,直接讨论F(x) 等式证明问题,问题大大得到简化,过程略 (2-x)+4的单调性,求 点评:当遇到恒成立求参数范围问题时, 般采用分离参数法,讨论含参函数的最值, F'(x) ,此时也不好 如果进行不下去,就要变换思维角度,大胆猜处理,看来求F(x)的最值比较困难。 想、尝试。利用必要条件先缩小参数的取值 下面我们采用先必要后充分的方法处 范围,再分类讨论求含参函数的最值,或尝试理。因为F(x)<0在x∈(-1,+∞)上恒 证明此必要条件也是充分条件,化为不等式成立,所以F(0)=4-a<0,即a>4,此为 证明題,此时打开了另一扇解决问题的窗 F(x)<0恒成立的必要条件(若a≤4,则 皇型中学生款肥化 F(0)≥0,显然F(x)<0不恒