02 函数搭台导 数唱戏-构造函数破解导数问题的三种策略-《中学生数理化》高二数学2021年3月刊

中学生数理化望学如埴与奶 画数搭份一导数号戏 ——构造函数破解导数问题的三种策略 ■江苏省盐城市时杨中学刘长柏 函数是支撑数学学科知识体系的重要 以f'(x)=e k=f(1)=e-1 内容,反映了客观世界两个集合间的对应 关系,而导数是研究函数性质的有力工具, 因为f(1)=e+1,所以切点坐标为 是高考的必考内容。函数与方程思想、转 (1,1+e)。 化与化归思想是高中数学中比较重要的两 故曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线 种思想,而构造函数的解题思路恰好是这 方程为y-e-1=(e-1)(x-1),即y 两种思想的良好体现。下面浅谈解导数题 的函数构造策略,希望对同学们的学习有 切线与两坐标轴交点的坐标分别为 所帮助 (0,2), 策略 单调性法,利用结构特征,变量 所求三角形的面积 轮换,构造单调函数 压轴题中经常出现一类以不等式为背景 考查函数单调性的定义、应用导数求解函数 (2)f(x)=ae-In x+In a=e n a 单调性的问题。此类问题设计新颖,既考查 lnx+lna≥1等价于 函数单调性的定义,又考查导数的应用,是两 lna+x-1≥lnx+x=emx+ 个知识点的交汇融合;既考查函数与方程思Inx。 想,又考查转化与化归思想。求解此类问题 令g(x)=e+x,上述不等式等价于 时,一定要进行合理的转化与化归,先把问题g(lna+x-1)≥g(lnx)。 转化为比较两个函数值的大小,再转化为函 显然g(x)为单调递增函数,又等价于 数的单调性问题,最后利用导数进行解答,使na+x-1=lnx,即lna≥lnx-x+1 问题得以解决。 令h(x)=1nx-x+1,则h'(x) 侧!(2020年山东新高考全国I卷 已知函数f(x)=ae1-lnx+lna (1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点 当x∈(0,1)时,h′(x)>0,h(x)单调递 (1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形增;当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,h(x)单调 的面积 递减。 (2)若f(x)≥1,求a的取值范围。 故h(x)mx=h(1)=0,lna≥0,即a≥1, 解析:(1)因为∫(x)=e-lnx+1,所a的取值范围是[1,+∞)。 皇型中学生款肥化 点评:本题根据不等式的结构,转化为 策略二主元法,把一个变量当成定值, ¨比较两函数值大小的问题”,进而把问题转构造成另一个变量的函数来研究,属于通性 化为“函数的单调性问题”,最后应用导数进通法,比起对结构要求较高的题型来讲,更具 行求解。解本题的关键是将f(x)≥1转化 般 函数中的双变量问题是近年高考试卷中 g(x)=e十x,上述不等式等价于g(lna 的“热门”试题之一,这类试题不但形式多样 x-1)≥g(lnx),注意到g(x)的单调性, 而且涉及的知识面较广,技巧性强,对构造思 步等价转化为lna≥lnx-x+1,再令 x+1,再令维能力要求较高,是多个知识点的交汇融合 h(x)=1nx-x+1,利用导数求得h(x)m,它既考查函数与方程思想,又考查转化与化 从而得出结论。 归思想;既是数学思想方法的应用提升,又是 练习1:(2020年全国I卷)已知函数落实数学核心素养的重要载体 f(x)=e ta. 当x≥0时,f(x)≥ 例2已知函数g(x)=xlnx,设 2x2+1,求a的取值范围 a<b,证明:0<g(a)+(b)-2/ 解析:由f(x)≥x2+1,得 x≥x3+1,其中x≥0 证明:由题意知g'(x)=1lnx+1。 ①当x=0时,不等式为1≥1,显然成 设F(x)=(a)+g(x)-2g(2 立,符合题意。 ②当x>0时,分离参数a,得a + 当0<x<a时,F(x)<0;当 F(x)>0 记g(x) 故F(x)在(0,a)上为单调减函数,在 (a,+∞)上为单调增函数。 又b>a,故F(b)>F(a)=0。 令h(x)=e 1(x≥0),则 故h(x)单调递增,h2'(x)≥h(0)=0, 设G(x)=g(a)+g(x)-2 从而函数h(x)单调递增,h(x)≥h(0)=0 由h(x)≥0可得,e 恒成立。 因此,当x∈(0,2)时,g(x)>0,g(x 当x>0时,G′(x)<0,因此G(x)在区 单调递增;当x∈(2,+∞)时,g′(x)<0, g(x)单调递减 间(0,+∞)上为减函数。 因为G(a)=0,且b>a,所以G(b) 因此,g(x)mx=g(2) G(a)=0 综上可得,实数a的取值范围是 也即 中学生数理化望学如埴与奶 故g(a)+g(b)-2g 或比值)而后进行换 或 从而实现减元,进而把问 综上可知,当0≤a<b时,0<g(a)+ g(b)-2g(+b 题转化为关于t的问题,然后通过构造关于t (b-a