07 一文说清恒(能)成立问题-《中学生数理化》高二数学2021年3月刊

中学生数理代三数学经魏率方法 搞定堡数申的参数讨迨 趣分类 ■清华大学附属中学永丰学校吴永芳 数与导数问题中往往含有变量或参 所以f(x)在(-∞,-1),(一(a+1), ,这些变量或参数取不同值时会导致不同+∞)上为增函数,在(-1,—(a+1))上为减 的结果,因而要对参数进行分类讨论。常见函数。 题型有含参函数的单调性,含参函数的零点, 含参函数的极值、最值等,解决时要进行分类上为增函数;当a>0时,f(x)在(-∞, 讨论。对问题实行分类,分类标准等于增加 (a+1)),(-1,+∞)上为增函数,在 了一个已知条件,实现了有效增设,将大问题(-(a+1),1)上为减函数;当a≤0时, 分解为小问题,优化了解题思路,降低了问题∫(x)在(-∞,-1),(-(a+1),十∞)上为 难度。分类讨论的原则是不重复、不遗漏,讨增函数,在(-1,(a+1))上为减函数。 论的方法是逐类进行,还必须注意综合讨论 点评:(1)当研究含参数的函数的单调性 的结果,使解题步骤完整 时,要依据参数对不等式解集的影响进行分 函数单调性问题中的参数讨论 类讨论;(2)划分函数的单调区间时,要在函 例/【2020年福建莆田期末试卷】已 数定义域内讨论,还要确定导数为0的点和 知函数f(x)=(x2+ax+1)e,讨论f(x) 函数的间断点。 的单调性 练习1:【2020年辽宁本溪期末试卷】已 解析:因为∫(x)=(x2+ax+1)e,所以 知a∈R,函数f(x)=e2+ax2,f'(x)是函数 f(x)=[x2+(a+2)x+a+1]e,即f'(x)f(x)的导函数,记g(x)=f(x),若g(x)在 (x+a+1)(x+1) 区间(-∞,1]上为单调函数,求实数a的取 值范围 由f'( 解析:由已知得f(x)=e+2ax,则 ①当a=0时,f(x)=(x+1)e≥0,当g(x)=e+2ax,g'(x)=e+2a 且仅当x=-1时,等号成立。 ①若a≥0,g'(x)>0,g(x)在定义域内 单调递增,符合题意 故∫(x)在(一∞,+∞)上单调递增 ②当a>0时,(a+1)<-1 由f'(x)>0,得x<-(a+1)或 n(-2a)。由题意知,要使导函数g(x)在区 间(-∞,1]上为单调函数,则需ln(-2a)≥ 由f(x)<0,得—(a+1) 所以f(x)在(-∞,-(a+1)),(-1 1,解得a≤ 此时函数g(x)在区间 ∞)上为增函数,在(-(a+1),-1)上为减(-∞,1]上为单调函数 函数 综合①②可知,若使导函数f'(x)在区 ③当a<0时,(a+1)>-1 间(一∞,1]上为单调函数,则a的取值范围 由f(x) 1;由f(x)<0,得-1<x<-(a+1)。 是 中学生数理代三数学经魏率方法 值,需要先分类讨论再解决问题 最小值。 分类讨论的思路主要有: ②当a≤0时,函数f(x)在区间 (1)参数是否影响f'(x)零点的存 上是增函数,在区间 (2)参数是否影响∫(x)不同零点(或零 点与函数定义域中的间断点)的大小; 是减函数,当 时,f(x)取得最大值 (3)参数是否影响f(x)在零点左右的 符号(如果有影响,需要再分类讨论) ln(-a),且f(x)无最小值 练习3:已知函数f(x 点评:本题考查利用导数研究函数的最 涉及分类讨论思想,正确确定函数的单调 函数f(x)的极值点 性是解题的关键。 解析:因为f(x)=ln2=ax,所以 练习4:已知函数f(x)=xlnx-ax2 +(a-1)x,其导函数f'(x)的最大值为0 求实数a的值。 解析:由题意知,函数f(x)的定义域为 (0,+∞),且f(x)=1nx-a(x-1) ①当a≤0时,f(x)>0,函数f(x)无 (x)=f'(x),则h'(x) 极值点 ①当a≤0时,h(x)=1-ax=0恒成 ②当a>0时,令f(x)=0,解得x 立,所以h(x)在(0,十∞)上单调递增 所以Vx∈(1,+∞),有h(x) 解得0<x f(x)>0,故a≤0时不成立 解得 时,若x∈(o,),则h"(x) 函数f(x)有极大值点一,无极小值点。 0;若x∈ 则h(x) 综上,当a≤0时,函数f(x)无极值点; 当a>0时,函数f(x)有极大值点一,无极小 所以A(x)在(o.3)上单调递增,在 值点 四、函数最值问题中的参数讨论 ,+∞)上单调递减。 例4设函数f(x)=ax+1+1nx,a 则h(x)m=( lna+a-1=0。 ∈R为常数,讨论函数f(x)可能取得的最大 值或最小值。 令g(a)=-lna+a-1,则g'(a) 解析:由题意知,函数f(x)=ax+1+ lnx的定义域为(0,+∞),且f'(x)=a g(a)>0。所以g(a)在(0,1)上单调递减 在(