09 合理分类搞定函数中 参数讨论-《中学生数理化》高二数学2021年3月刊

理增中孕生表理化 创桁导数应用的“三个误区” 山东省平阴县第一中学姜守芹 导数是高中数学内容中较为重要的知x8)为切点的直线的斜率k=3-3x 识,也是研究函数的一个重要工具,可以非常 则在点Q处的切线方程为: 简捷地解决一些实际问题。同学们在应用它 y-(3x0-x3)=(3-3x3)(x-x0) 解题时,由于概念不清或一些重要的知识点 而切线过点P(2,—2),即-2-(3x 理解不透彻,而导致错误的情形也时常发生。x3)=(3-3x2)(2-x0)。 下面对导数应用中常见的三个误区进行剖 整理得x。-3x+4=0,也即( 析 (x-2)2=0,解得x。=-1或x0=2 误区一、混淆“过某一点”作曲线的切线 1时,切点为(-1,-2),此时 与“在该点”处作曲线的切线 切线方程为y=-2 例1已知曲线C:y=3x-x3,求过点 当x0=2时,切点为P(2,-2),此时切 P(2,-2)的切线方程 线方程为9x+y-16=0 错解:因为点P在函数y=3x-x3的图 故过点P(2,-2)的切线方程为 像上,且f'(x)=3-3x2,所以f'(2)=-9 戎9x+ 因此,过点P(2,-2)的切线方程为y 吴区二、误将函数在单调区间的充分不 9(x-2),即9.x+y-16=0。 必要条件当作充要条件 剖析:在求曲线的切线时要注意 例2已知函数f(x)=ax3+3 是“过点P的切线”还是“在点P的切线”, x+1在R上是减函数,求a的取值范围 即必须注意“过”与“在”的区别。因为“过”曲 错解:f(x 线上一点P的切线,点P未必是切点,而(x)在R上是减函数,所以f(x)<0 “在”曲线上一点P处的切线,则点P肯定是上恒成立 切点,所以曲线在某点处的切线若有则只有 故3ax2+6x-1<0(x∈R)恒成立台 条,而曲线过某点的切线往往不止一条。a<0且△=36+12a<0,解得a<-3 切线与曲线的公共点不一定只有一个 当a∈(-∞,-3)时,f(x)为减函数 当点P在曲线y=f(x)上时,求过点P 剖析:函数的单调性与导数的关系:设函 的切线方程要特别注意以下两种可能的情数y=f(x)在区间(a,b)内可导,当f(x)>0 形:一类是点P就是切点,另一类是切线以时,则f(x)在(a,b)上为单调递增函数;当 曲线y=f(x)上另一点为切点,但该切线经f’(x)<0时,则f(x)在(a,b)上为单调递减 过点P 函数。所以f(x)>0(<0)是函数在区间 本题求的是“经过点P的切线”,而不是(a,b)上单调递增(或单调递减)的充分不必 在点P处的切线”,因而不排除有其他切线要条件,有的同学错误地认为上述条件是充 过点P的情况,那么解决这样问题的有效要条件。反之,如果f(x)在(a,b)上单调递 办法是抓住切点,利用切点既在切线上又在增(或单调递减),则f(x)≥0(或f(x)≤ 曲线上建立方程进行求解。 0)恒成立。 正解:设切点坐标为Q(x。, 正解:f(x)=3ax2+6x-1。因为 f(x)在R上是减函数,所以f'(x)≤0在R 因为y′=3-3x2,所以以点(x0,3x0 恒成 中学生理化 解题篇易错题归类剖析 高二数学2021年3月 枚a<0且△≤0,即a<0且36+12a≤ 则f(x)在R上为增函数,所以f(x)在 0,解得a≤-3。 x=1处没有极值,应舍去。 误区三、误将“导数为零的点”等同于“极 值点” 11x+16 例3已知函数f(x)=x2+ax 则f(x)=3x2+8x-1 bx+a2在x=1处取得极值10,求a,b的 令f(x)=0,解得x1=1,x 那么∫(x)的增减性及极值如表1: 错解:由f(x)=x3+ax2+bx+a2,得 表1 f(x)=3x2+2ax+b。 f'(1)=0, 依题 f(1)=10 a+b+1=10 极大值极小值10 解得 显然在x=1处取极小值10,从而 剖析:函数y=f(x)在x=x0处可导 成立 则f(x0)=0是f(x)在x=x。处取得极值 的必要不充分条件,把“导数为零的点”等同 综上所述,可知 于“极值点”容易导致错误。一般地,函数 f(x)在x=x0的一个邻域内可导且f(x。) 1.(2020年普洱市期末测试卷)已知函 0,如果在x=x。两侧f(x)符号相反,则数f(x)=ax-lnx,若f(x)≥0对一切x∈ 函数存在极值;如果f(x)在x=x0两侧符(0,+∞)恒成立,则a的取值范围是( 号相同,则f(x)在x=x。处无极值。 A.(0,+∞) 事实上若x=x。是方程f(x)=0的偶 次重根,故x。不是f(x)的极值点 例如,函数f(x)=x3,f′(x)=3x2,尽 2.(2020年崇州市期末卷)已知函数 管f(0)=0,但由于f(x)为增函数,故在x I