2.2.1 向量的加法运算及其几何意义（精讲精析）-2020-2021学年高一数学教材配套学案（人教A版必修4）

2.2平面向量的线性运算

  2.2.1向量的加法运算及其几何意义

知识自主预习

新知初探

知识点1.向量的加法

【思考】观察教材P80图2.2－1，思考：某对象从A点经B点到C点，两次位移、的结果是什么？与从A点直接到C点的位移有什么关系？

【答案】从A点经B点到C点，两次位移、的结果是位移，与从A点直接到C点的位移相等．

 

(1)向量求和的三角形法则：已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作＝a，

＝b，则向量   叫做a与b的和，记作     ，即a＋b＝＋＝   _.                 

这种求向量和的方法，称为向量加法的        法则.

对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝       ＝    ．

 (2)向量求和的平行四边形法则：以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作▱OACB，则                    就是a与b的和．我们把这种作向量和的方法叫做向量加法的                 法则.

(3)向量求和的多边形法则：已知ｎ个向量，依次把这ｎ个向量          ，以第一个向量的起点为起点，第ｎ个向量的终点为终点的向量叫做这ｎ个向量的和向量.这个法则叫做向量求和的       法则.

 

知识点2.向量加法的运算律

【思考】实数加法有哪些运算律?

【答案】实数加法的运算律有：（1）加法交换律 a+b=b+a ；(2)加法结合律 （a+b）+c= a+(b +c).

 

(1)交换律：＋＝               .

(2)结合律：＋＋=               ＝                   .

 

知识梳理

1.（1）  a＋b     三角形   0＋a  a （2）以O为起点的对角线  平行四

边形

 （3）首尾相接    多边形

2.（1）＋   （2）（＋）＋        ＋（＋）

 

自我测评

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

（1）如果非零向量与的方向相同或相反，那么＋的方向必与、之一的方向相同.(   )

（2）三角形ABC中，必有＋＋＝.(   )

（3）若＋＋＝，则A、B、C为一个三角形的三个顶点. (   )

（4）若、均为非零向量，则｜＋｜与｜｜＋｜｜一定相等. (   )

【解析】（1）当＋＝时，命题不成立，不正确.（2）正确.

（3）当A、B、C三点共线时，也可以有＋＋＝.不正确.

（4）只有当、同向时，｜＋｜＝｜｜＋｜｜，其他情况为｜＋｜＞｜｜＋｜｜，不正确.

【答案】(1)×　(2)√　(3)×   (4)×

2.已知向量表示“向东航行1km”，向量表示“向南航行1km”，则向量＋表示（  ）

A.向东南航行km   B. 向东南航行2km  C. 向东北航行km  D. 向东北航行2km

【解析】因为向量表示“向东航行1km”，向量表示“向南航行1km”，所以由向量加法的三角形法则可知＋表示向东南航行km.

【答案】A

3.在四边形ABCD中，，则（　　）

A.　ABCD一定是矩形　　　　B.　 ABCD一定是菱形

C.　ABCD一定是正方形　　　D. 　ABCD一定是平行四边形

【解析】根据向量加法的平行四边形法则可得.

【答案】D

4.化简（    ）

A.     B.             C.     D.

【解析】，故选B.

【答案】B

5.向量（＋）＋（＋）＋化简后等于（　　）

A.　　　B.　　　C.　　　D.

【解析】（＋）＋（＋）＋＝（＋）＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝.

【答案】C

 

题型多维探究

题型1 求作向量的和

【例1】(1)如图①，利用向量加法的三角形法则作出a＋b；

(2)如图②，利用向量加法的平行四边形法则作出a＋b.

【解】(1)如图ⓐ所示，设＝a，∵a与b有公共点A，故过A点作＝b，连接即为a＋b.

(2)如图ⓑ，设＝a，过O点作＝b，则以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，连接OC，则＝a＋b.

 

如图，在△ABC中，O为重心，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，化简下列三式：

 

题型3 向量加法的应用

【例3】一条河的两岸平行，一艘船要从岸AB驶向对岸CD，船在静水中速度为，水流速度为，若｜｜、｜｜为定值且｜｜＞｜｜.为了使航行时间最短，则与的夹角应为（　　　）

A.＋　　　　B. ＋         C. 　　　D.

【解析】本题是物理中矢量的合成与分解问题.为了使航行时间最短，只需要垂直速度最大就可以了，所以只要使航行速度垂直于对岸，所用时间就最短，因此易得答案为D.

【答案】D

【方法总结】利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤

（1）由题意作出相对应的几何图形，构造有关向量；（2）利用三角形法则或平行四边形法则，对向量的加法进行运算；（3）构造三角形（一般是直角三角形）利用三角形的边角关系解题.

【变式训练3】将本例改为“使航行的距离最小”，其它条件及选择项不变，那么答案又应该是什么呢？

【解析】由题意，若使航行距离最小，则需、