2.1 平面向量的实际背景及基本概念（精讲精析）-2020-2021学年高一数学教材配套学案（人教A版必修4）

第二章 平面向量

2.1平面向量的实际背景及基本概念

知识自主预习

新知初探

知识点1. 位移、向量的概念

【思考】我们在物理中学习了位移、速度、力等，这些量与我们日常生活中的年龄、身高、体重、面积、体积等有什么区别？

【答案】位移、速度、力是既有大小又有方向的量，而年龄、身高、体重、面积、体积等只有大小，没有方向．

 

(1)位移：在物理学中，研究物体在平面内的位置和运动规律时，一般忽略它的大小，只考虑质点的终点相对于起点的方向和直线距离，就说质点在平面上作了一次     ，直线距离叫做位移距离．

(2) 向量：数学中，我们把像力、位移等这种既有     ，又有      的量叫做向量．

 

知识点2.向量的表示方法

【思考】对既有大小，又有方向的量，如何形象、直观地表示出来？

【答案】用有向线段．

 

 (1)几何表示：具有方向的线段叫做有向线段.在线段AB的两个端点中规定了一个顺序：A为起点（也称为始点），B为终点，这时线段AB就具有了方向性，由A指向B，这就是有向线段AB.记作      .点A叫做有向量线段的起点，点B叫做有向线段的终点.

(2)字母表示：向量可以用小写的字母来表示.通常印刷体用黑体的小写字母表示，如a、b、c…，手写体用带箭头的小写字母表示.如          ….

 

知识点3. 向量的有关概念

【思考】若向量a与向量b相等，则它们应具备什么条件？

【答案】长度相等且方向相同．

（1）向量的模：向量的长度叫做向量的模.如果＝，那么的长度表示向量的大小，记作      .

向量不能比较大小，而向量的模是正实数或数0，是只有大小没有方向的量，可以比较大小.

（2）零向量与单位向量：①零向量：长度（模）为   的向量叫做零向量，记作.零向量的方向是       的.

②单位向量：长度（模）等于     的向量叫做单位向量.

零向量和单位向量是从向量的大小这个角度来考察而形成的两个概念.

（3）相等向量：              的有向线段表示同一向量，叫做相等的向量.规定：零向量与零向量相等.

相等向量是从向量的大小和方向两个角度来考察两个向量而形成的概念.任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关，

（4）共线向量与平行向量：

①基线：通过有向线段AB的直线，叫做向量    的基线.

②如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行.向量平行于向量，记作        .规定零向量与任一向量平行.

 

知识梳理

1.（1） 位移  (2) 大小   方向

2.（1） （2）、、

3.（1）｜｜ （2）①0   任意  ② 1（3）同向且等长（4）①   ②∥

自我测评

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

（1）若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反．  （　　）

（2）若|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b．         （　　）

（3）由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行．      （　　）

（4）向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反． （　　）

（5）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．   （　　）

【解析】（1）不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的关系．

（2）正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b.

（3）不正确．依据规定：0与任一向量平行．

（4）不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．

（5）正确．对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的．

【答案】（1）×　（2）√　（3）×   （4）×    （5）√

2. 下列各量中不是向量的是       （　　）

A.浮力　　　　B.风速　　　　C.位移　　　　D.面积

【答案】D

3.在下列命题中，正确的是        （　　）

A.若｜｜＞｜｜，则＞　　　　B. 若｜｜＝｜｜，则＝

C.若＝，则与共线　　　　　　D. 若≠，则一定不与共线

【解析】因为向量是既有大小又有方向的量，两个向量间不能比较大小，因此，A不正确；两个向量的模相等，但方向却不一定相同，因此B不正确；相等的向量方向一定相同，相等向量一定共线，因此C正确；对于选项D，两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以与有共线的可能，故D不正确.

【答案】D

4.如图所示，在四边形ABCD中，，则相等的向量是（  ）

A.与      B.与       C. 与      D. 与  

【解析】由题意知四边形ABCD中平行四边形，又AO=OC且与的方向相同，故选D.

【答案】D

5.若向量a与任一向量平行，则a=___________.

【答案】0

【反馈记录】哪里不会问哪里，课堂全过关！

 

题型多维探究

题型1向量的有关概念

【例1】判断下列各命题的真假：

（1）向量的长度与向量的长度相等；

（2）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同；

（3）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；

（4）向量和向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；

（5）有向线段就是向量，向量就是有向线段.

其中假命题的个数为（　　）

A.2个　　B.3个　　C.4个　　D.5个

【解析】（1）（2）为真命题.

（3）假命题.终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反.

（4）假命题.共线向量所在的直线可以重合，也可以平行.

（5）假命题.向量是用有向线段来表示的，但并不是有向线段.

【答案】B

【方法总结】解决与向量概念有关问题的方法