第10讲 向量的概念和线性运算（讲义）-【教育机构专用】2021年春季高一数学辅导讲义（沪教版2020必修第二册）

第10讲 向量的概念和线性运算 知识梳理 1． 向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为零的向量；其方向是任意的 记作 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量的单位向量为 平行向量 方向相同或相反的非零向量 与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量为 2. 向量的几何运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 (1)交换律： (2)结合律：. 减法 求与的相反向量－的和的运算叫做与的差 三角形法则 －＝＋(－) 数乘 求实数λ与向量的积的运算 (1)|λ|＝|λ|||； (2)当λ>0时，λ的方向与的方向相同；当λ<0时，λ的方向与的方向相反；当λ＝0时，λ＝0 λ(μ)＝λμ； (λ＋μ) ＝λ＋μ； λ(＋)＝λ＋λ 3. 共线向量定理 向量(≠0)与共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得＝λ. 例题解析 1、向量的概念 思考1　向量与数量有什么联系和区别？ 向量有哪几种表示？ 答　联系是向量与数量都是有大小的量；区别是向量有方向且不能比较大小，数量无方向且能比较大小．向量可以用有向线段表示，也可以用字母符号表示．用表示向量的有向线段的长度表示向量的大小，也就是向量的长度(或称模)．记作||有向线段箭头表示向量的方向． 思考2　向量与有向线段有什么区别？ 答　向量只有大小和方向两个要素，与起点无关．只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；有向线段是表示向量的工具，它有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段． 思考3　满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？ 答　长度相等、方向相同的向量叫做相等向量．若向量a与b相等，记作a＝b.单位向量不一定是相等向量． 思考4　如果非零向量与是共线向量，那么点A、B、C、D是否一定共线？ 答　 点A、B、C、D不一定共线． 思考5　若向量与平行(或共线)，则向量与相等吗？反之，若向量与相等，则向量与平行(或共线)吗？向量平行具备传递性吗？ 答　向量与平行(或共线)，则向量与不一定相等；向量与相等，则向量与平行(或共线)． 向量的平行不具备传递性，即若∥，∥，则未必有∥，这是因为，当＝0时，、可以是任意向量，但若≠0，必有∥，∥⇒∥. 例1．（2021·浙江高一单元测试）下列说法正确的是（ ） A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量有，，三种关系 C．两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行 D．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合 【答案】D 【分析】由相等向量和平行向量的定义进行判断 【详解】解：对于A，向量与向量是相反向量，所以A错误； 对于B，因为向量是有方向和大小的量，所以两个向量不能比较大小，所以B错误； 对于C，当两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线平行或共线，所以C错误； 对于D，由共线向量的定义可知，当两个向量是共线向量时，有向量所在的直线可以平行，也可以重合，所以D正确， 故选：D 例2．（2021·全国高一课时练习）下列命题：（1）零向量没有方向；（2）单位向量都相等；（3）向量就是有向线段；（4）两向量相等，若起点相同，终点也相同；（5）若四边形为平行四边形，则．其中正确命题的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】零向量的方向是任意的可判断（1）；单位向量方向不一定相同可判断（2）；有向线段只是向量的一种表示形式可判断（3）；根据向量的二要素可判断（4）；由相等向量的定义可判断（5），进而可得正确答案. 【详解】对于（1）：零向量不是没有方向，而是方向是任意的，故（1）不正确． 对于（2）：单位向量只是模均为单位，而方向不相同，所以单位向量不一定都相等，故（2）不正确． 对于（3）：有向线段只是向量的一种表示形式，向量是可以自由移动，有向线段不可以自由移动，不能把两者等同起来，故（3）不正确， 对于（4）：两向量相等，若起点相同，终点也相同；故（4）正确； 对于（5）： 如图：若四边形为平行四边形，则，且方向相同，但方向相反，所以与不相等，故（5）不正确； 所以正确的有一个， 故选：A. 例3．（2021·全国高一课时练习）设，都是非零向量.下列四个条件中，使成立的条件是（ ） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】根据