3.3 万有引力定律的应用-2020-2021学年高一物理精讲精练（新粤教版必修第二册）

3.3 万有引力定律的应用 考点精讲 考点1：天体质量和密度的计算 1．求天体质量的思路 绕中心天体运动的其他天体或卫星做匀速圆周运动，做圆周运动的天体(或卫星)的向心力等于它与中心天体的万有引力，利用此关系建立方程求中心天体的质量。 2．计算天体的质量 下面以地球质量的计算为例，介绍几种计算天体质量的方法： （1）若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力，得mg＝G，解得地球质量为M地＝。 （2）质量为m的卫星绕地球做匀速圆周运动 G＝ 3．计算天体的密度 若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝ 将M＝代入上式得ρ＝ 特别地，当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝。 【例1】　假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星。若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知万有引力常量为G。 （1）则该天体的密度是多少？ （2）若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？ 思路点拨：(1)卫星轨道半径等于天体半径，利用＝m及ρ＝求解。 (2)利用＝及ρ的公式求解。 【解析】设卫星的质量为m，天体的质量为M。 (1)卫星贴近天体表面运动时有G＝mR，M＝ 根据数学知识可知天体的体积为V＝πR3 故该天体的密度为ρ＝＝＝。 (2)卫星距天体表面的高度为h时，忽略自转有 G＝m(R＋h) M＝ ρ＝＝＝。 【技巧与方法】 注意区分R、r、h的意义：一般情况下，R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径，h指卫星距离星球表面的高度，r＝R＋h。 【针对训练】 1．1789年英国物理学家卡文迪许测出引力常量G，因此卡文迪许被人们称为“能称出地球质量的人”。若已知引力常量为G，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为T1(地球自转周期)，一年的时间为T2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离为L1，地球中心到太阳中心的距离为L2，则下列说法正确的是 (　　) A．地球的质量m地＝ B．太阳的质量m太＝ C．月球的质量m月＝ D．由题中数据可求月球、地球及太阳的密度 【答案】B　 【解析】若不考虑地球自转，根据地球表面万有引力等于重力，有＝mg，则m地＝，A错；根据太阳对地球的万有引力提供向心力，有＝m地L2，则m太＝，B对；由题中数据无法求出月球的质量，也无法求出月球的密度，C、D错。 考点2：惯性 1．两条基本思路 G＝m＝mω2r＝mr＝ma(m围绕M做匀速圆周运动) mg＝(g为天体表面处的重力加速度)，即GM＝gR2，该公式通常被称为黄金代换式。 2．四个重要的物理量 （1）线速度v：由G＝m得v＝，可见，r越大，v越小；r越小，v越大。 （2）角速度ω：由G＝mω2r得ω＝，可见，r越大，ω越小；r越小，ω越大。 （3）周期T：由G＝r得T＝2π，可见，r越大，T越大；r越小，T越小。 （4）向心加速度a：由G＝ma得a＝，可见，r越大，a越小；r越小，a越大。 利用上述结论可以对环绕天体运动的线速度v、角速度ω、周期T以及向心加速度a进行定性分析，也可以进行定量计算。 【例2】　天文学家发现了一颗距地球40光年的“超级地球”，名为“55 Cancri e”，该行星绕母星(中心天体)运行的周期约为地球绕太阳运行周期的，母星的体积约为太阳的60倍。假设母星与太阳密度相同，“55 Cancri e”与地球均做匀速圆周运动，则“55 Cancri e”与地球的(　　) A．轨道半径之比约为 B．轨道半径之比约为 C．向心加速度之比约为 D．向心加速度之比约为 思路点拨：本题中涉及两个中心天体，可用万有引力定律结合向心力公式写出相应的通式，再代入题中的已知条件进行求解。 【解析】由公式G＝mr，可得r＝，由M＝ρV，则＝＝＝，A错，B对； 再由G＝ma得a＝G，则＝·＝＝＝，C、D错。 【针对训练】 训练角度1　天体运动的定性分析 2．金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金＜R地＜R火，由此可以判定(　　) A．a金＞a地＞a火　　　 B．a火＞a地＞a金 C．v地＞v火＞v金 D．v火＞v地＞v金 【解析】金星、地球和火星绕太阳公转时万有引力提供向心力，则有G＝ma，解得a＝G，结合题中R金＜R地＜R火，可得a金＞a地＞a火，选项A正确，B错误；同理，有G＝m，解得v＝，再结合题中R金＜R地＜R火，可得v金＞v地＞v火，选项C、D均错误。 训练角度2　天体运动的定量