2020-2021学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册重难点题型专项提优-专题03平面向量数量积（江苏，机构专用）

2021人教A版新高一数学下学期重难点题型专项提优 专题03平面向量数量积（解析版） 本专题主要强化三个内容：一、平面向量投影的计算问题；二、基底法求平面向量数量积；三、坐标法解答平面向量数量积问题． 【2021新高一江苏无锡、苏州适用】 【考点一：平面向量投影的计算问题】 例1．非零向量 ， ， 满足 ， ， 的夹角为 ， ，则 在 上的投影为 A．2 B． C．3 D．4 【答案】B 【解析】非零向量 ， ， 满足 ， ， 的夹角为 ， ， 可得 ，所以 ， 所以 在 上的投影为 ． 例2．已知向量 ＝(1，2)， ＝(k，1)，且 与向量 的夹角为90°，则向量 在向量 方向上的投影为 ． 【答案】 【解析】∵ ＝(1，2)， ＝(k，1)，∴ ＝(2＋k，5)，又 与向量 的夹角为90°，∴ 即(2＋k)×1＋5×2＝0，解得k＝﹣12，∴ ＝(﹣12，1)， ，∴向量 在向量 方向上的投影为 ． 例3．已知非零 在非零 方向上的投影是m，m R，下列说法正确的是 A． 在k (k≠0)方向上的投影一定是m B． 在k (k≠0)方向上的投影一定是km C． 在k (k＞0)方向上的投影一定是km D． 在k (k＞0)方向上的投影一定m 【答案】D 【解析】∵ 在 方向上的投影是m，∴ ，∵ ，k≠0， ≠0， ≠0， ，∴ 在k (k≠0)方向上的投影为 ，当k＞0时， 在k 方向上的投影为m． 变式训练： 1．已知向量 ＝(﹣1，2)， ＝(2，﹣3)，则 在 方向上的投影为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵ ＝(−5，8)， ＝(1，−1)，∴( )•( )＝−5−8＝−13， ＝ ， ∴ 在 方向上的投影为： ． 2．在△ABC中，已知AB＝2， ，cos2A＋2sin2 ＝1，则 在 方向上的投影为 ． 【答案】 【解析】 ， ， ， ， ， ，即 ， 解得 或 （舍去），且 ， ， ，且 ， EMBED Equation.DSMT4 在 方向上的投影为： ． 3．如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝1，则 ＝ ． 【答案】18 【解析】设 与交于点，则，，，在Rt△APO中，，，由向量的数量积与投影等知识可知，． 【考点二：基底法求平面向量数量积】 例1．如图所示，已知点O为△ABC的重心，OA⊥OB，AB＝6，则 的值为 ． 【答案】72 【解析】连接 延长交 于 ，则由 为重心，则 为中点， 且 ，由 ， ，则 ， ．则 EMBED Equation.DSMT4 ． 例2．在平面四边形ABCD中，已知AB＝1，BC＝4，CD＝2，DA＝3，则 的值为 ． 【答案】10 【解析】取AC中点O，连接BO，DO，则 ，又AB＝1，BC＝4，CD＝2，DA＝3，则 ． 例3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．已知AC＝BC，AC⊥BC，AD⊥BD，且O是AC的中点，若 ，则 的值为 ． 【答案】﹣3 【解析】由条件，可知 ， ， ， 四点共圆， 为圆的直径，设 ， ， ，由相交弦定理，得 ，在直角△AOD中，由勾股定理，得 ，在△COD中，由余弦定理，得 ． ， ，又 ， ． ． 变式训练： 1．如图，在平面四边形ABCD中，E，G分别为线段AD的两个三等分点，F，H分别为线段BC的两个三等分点，且EF＝4，GH＝3， ＝11，则 的值为 ． 【答案】5 【解析】由题意可得 ， ，由 ， ，可得 ，即 ，同理可得 ， ， ， ，则 ． 2．如图，扇形AOB的圆心角为90o，半径为1，点P是圆弧AB上的动点，作点P关于弦AB的对称点Q，则 的取值范围是 ． 【答案】[ ，1] 【解析】设PQ中点为M，则根据极化恒等式，得 ，当M为AB中点时， 最小，为 ；当M与点A或点B重合时， 最大，为1．故 的取值范围是[ ，1]． 3．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点， ＝4， ＝﹣1，则 的值是 ． 【答案】 【解析】 是 的中点， ， 是 上的两个三等分点， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， ， ， ， ， ，又 EMBED Equation.DSMT4 ， ， ． 【考点三：坐标法解答平面向量数量积问题】 例1．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，且AB＝4，AD＝2，∠BAD＝ ，E为BC的中点，若 ，则对角线AC的长为