2020-2021学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册重难点题型专项提优-专题02向量的线性运算二（江苏，机构专用）

2021人教A版新高一数学下学期重难点题型专项提优 专题02向量的线性运算二（解析版） 本专题主要强化三个内容：一、平面向量的模与夹角的计算；二、平面向量中的等和线问题；三、平面向量中的“奔驰定理”． 【2021新高一江苏无锡、苏州适用】 【考点一：平面向量的模与夹角的计算】 例1．（多选）已知 ， ， 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是 A． B．若 且 ≠0，则 C．两个非零向量 ， ，若 ，则 与 共线且反向 D．已知 ＝(1，2)， ＝(1，1)，且 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是( ， ) 【答案】AC 【解析】对于 ，由平面向量数量积的定义知 ，所以 正确；对于 ，由 且 ，不能得出 ，所以 错误；对于 ，两个非零向量 ， ，若 ，则 ，所以 ，所以 ，即 与 共线且反向， 正确；对于 ， ， ，则 ；若 与 的夹角为锐角，则 ，即 ，解得 且 所以实数 的取值范围是 ， ， ， 错误． 例2．若向量 ， 满足 ， ， ，记 与 的夹角为 ，则 ＝ ． 【答案】 【解析】 ， ，即 ， ， ， ，又 ， ． 例3．已知 与 是两个互相垂直的单位向量，若向量 ＋k 与k ＋ 的夹角为锐角，则k的取值范围为 ． 【答案】k＞0且k≠1 【解析】∵ ＋k 与k ＋ 的夹角为锐角， ∴( ＋k )·(k ＋ )＝2k＞0，∴k＞0， 当k＝1时， ＋k ＝k ＋ ，它们的夹角为0°，不符合题意，舍去． 综上，k的取值范围为k＞0且k≠1． 例4．已知平面上三个向量 ， ， 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°． （1）求证：( ﹣ )⊥ ； （2）若 (k R)，求k的取值范围． 【解析】解：（1）证明 ， ． （2）解 ， 即 ． ，且 相互之间的夹角均为 ， ， ， ，即 ， 或 ． 变式训练： 1．已知向量 与 的夹角为60°， ＝4，( ＋2 )•( ﹣3 )＝﹣72，则向量 的模为 A．2 B．4 C．12 D．6 【答案】D 【解析】 向量 与 的夹角为 ， ，且 ， ， 即 ， ． 解得 （舍），或 ． 2．已知 和 都是单位向量，且 ＝0， ，则向量 与 的夹角的余弦值是 ． 【答案】 【解析】 和 都是单位向量，且 ， ，则 ， ， ； 向量 与 的夹角的余弦值是： ． 3．已知 与 是两个互相垂直的单位向量，若向量 ＋k 与k ＋ 的夹角为钝角，则k的取值范围为 ． 【答案】k＜0且k≠﹣1 【解析】∵ ＋k 与k ＋ 的夹角为钝角， ∴( ＋k )·(k ＋ )＝2k＜0，∴k＜0， 当k＝﹣1时， ＋k ＝k ＋ ，它们的夹角为180°，不符合题意，舍去． 综上，k的取值范围为k＜0且k≠﹣1． 4．已知 ＝3， ＝4，且 与 的夹角为120°． （1）求 的值； （2）求 的值； （3）若(2 ﹣ )⊥( ＋k )，求实数k的值． 【解析】解： ， ，且 与 的夹角为 ． （1） ， ； （2） ； ； （3） ． 实数 的值为： ． 【考点二：平面向量中的等和线问题】 例1．给定两个长度为1的平面向量 和 ，它们的夹角为120°．点C在以O为圆心的圆弧 上变动，若 ，其中x，y R，则x＋y的最大值是 ． 【答案】2 【解析】方法一：由已知条件知： ； ，根据向量加法的平行四边形法则，容易判断出 ， ， ， ； ， ， ，即 的最大值为2． 方法二：可以过点C作AB的平行线，利用等和线知识可秒解答案为2． 例2．已知O是△ABC内一点，且 ，点M在△OBC内（不含边界），若 ，则 的取值范围是 A．(1， ) B．(1，2) C．( ，1) D．( ，1) 【答案】B 【解析】方法一：因为△ABC内一点， ，所以 为 的重心， 又 在 内（不含边界），且当 与 重合时， 最小，此时 ，所以 ，即 ， 当 与 重合时， 最大，此时 ，所以 ， ，即 ， 因为 在 内且不含边界，所以取开区间，即 ， 方法二：取AC中点D，则 可转化为 ，然后过M作BD的平行线，接下来利用等和线知识即可求解． 变式训练： 1．如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若 EMBED Equation.DSMT4 ，则m＋n的取值范围是 ． 【答案】(﹣1，0) 【解析】法一： ， ， 三点共线， 存在实数 满足 ， 又 ， ， ，即 ， 与 两比较，可得 ， ，则 ． 的取值范围是 ． 法二： ， ， ， ， 当 时， ，即 ，即