专题06 导数的概念及其几何意义（重难点突破）-【教育机构专用】2021年春季高二数学辅导讲义(新教材人教A版2019)

专题06 导数的概念及其几何意义 【重难点知识点网络】： 一、平均变化率 1.变化率 事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； 2.平均变化率 一般地，函数f(x)在区间上的平均变化率为： 3.如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出和 ②作商：对所求得的差作商，即。 二、导数的概念 定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作 三、求导数的方法： 求导数值的一般步骤： 1 求函数的增量：； 2 求平均变化率：； 3 求极限，得导数：。 也可称为三步法求导数。 【重难点题型突破】： 一、平均变化率与瞬时变化率 函数在某点处的导数 例1．（1）设函数，当自变量x由改变到+Δx时，函数的增量Δy为（ ） A． B． C． D． 【答案】 D 【解析】 由公式可得，故选D。 （2）若函数f（x）=2x2－1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+Δx，1+Δy），则等于 A.4 B.4x C.4+2Δx D.4+2Δx2 【答案】C 【解析】Δy=2（1+Δx）2－1－1=2Δx2+4Δx，=4+2Δx. 例2. 函数在区间[1，1+Δx]内的平均变化率为________。 【解析】 ∵ ，∴ 例3.（2021·全国高二课时练习）（多选题）甲工厂八年来某种产品年产量与时间（单位：年）的函数关系如图所示． 现有下列四种说法正确的有（ ） A．前四年该产品产量增长速度越来越快 B．前四年该产品产量增长速度越来越慢 C．第四年后该产品停止生产 D．第四年后该产品年产量保持不变． 【答案】BD 【详解】 设产量与时间的关系为，由题图可知在点，，，处的切线的斜率越来越小，根据导数的几何意义可知，前四年该产品产量增长速度越来越慢，故A错误，B正确； 由题图可知从第四年开始产品产量不发生变化，且，故C错误，D正确，故说法正确的有BD． 故选：BD 例4.（2020·全国高二课时练习）已知某物体的运动方程是，则该物体在时的瞬时速度为___________；在时的瞬时速度为_______. 【答案】6 6 【分析】 由平均变化率的物理意义计算． 【详解】 当时， ， ∴，∴， 即当时的瞬时速度为6. 当时，， ∴，∴， 即当时的瞬时速度为6. 故答案为：6；6． 二、利用定义求导数的值 例5.（1）设函数在处存在导数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，故选A. （2）设函数f(x)在x=1处存在导数为2,则= _______________． 【答案】 【解析】由极限的运算法则结合导函数的定义可得： ==×f′(1)=. 例6. 用导数的定义，求函数在x=1处的导数。 【解析】∵ ∴∴。 【点评】 利用定义求函数的导数值，需熟练掌握求导数的步骤和方法，即三步法。 例7. （1）求函数 在x=1处的导数. （2）求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 【答案】 (1) , ，即. 所以 函数 在x=1处的导数为6 . （2） 依照定义，f(x)在的平均变化率，为两增量之比， 需先求， 再求：，即为f(x)=在附近的平均变化率。 再由导数定义得： 例8. 已知函数，求函数在x=4处的导数. 【答案】（1） ， 例9. 已知，求， 【答案】 因为，所以 。 当Δx→0时，，∴当x=2时，。 三、导数的几何意义 例10.已知的图象如图所示，则与的大小关系是 A． B． C． D．与大小不能确定 例11.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则= ；= . 【答案】 　2， 2 【解析】 由图可知：f(0)=4,f(4)=2; f(x)=-2x+4,带入可得。 例12.（2021·吴县中学高二月考）（多选题）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中错误的是（ ） A．是函数的极值点 B．函数在处取得极小值 C．在区间上单调递减 D．的图象在处的切线斜率小于零 【答案】AB 【分析】 根据导数的知识对选项逐一分析，由此确定选项. 【详解】 对于A选项，由图可知，左右两侧导数都为负数，故不是的极值点，A选项错误. 对于B选项，由图可知，左右两侧导数都为负数，故不是的极值点，B选项错误. 对于C选项，由图可知，时，递减，所以C选项正确. 对于D选项，由图可知，，所以D选项正确. 故选：AB. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $ 专