陕西省西安市长安区第一中学2020-2021学年高三第七次质量检测数学（理）试题

长安一中2018级高三第七次质量检测 数学（理科）试题 注意事项： 1. 答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2. 选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3. 请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4. 保持答题卡清洁，不折叠、不破损。 5. 若做选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“直线与平行”的（ ） A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要的条件 3.“克拉茨猜想”又称“3n+1猜想”，是德国数学家洛萨克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n为奇数就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1，得到1即终止运算。已知正整数m经过5次运算后得到1，则m的值为（　　） A．32或5 B．16或2 C．16 D．32或5或4 4.下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中下列说法错误的是（ ） A． B． C． D． 5.若实数满足，则（ ） A． B． C． D． 6. 设向量 与 的夹角为，，，则等于（ ） A． B． C． D． 7. 二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨度克·牛顿于1664-1665年间提出，据考证，我国至迟在11世纪，北宋数学家贾宪就已经知道了二项式系数法则。在的二项式展开式中，的系数为（ ） A． B． C． D． 8.两枚相同的正方体骰子，六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6，同时掷两枚骰子，则两枚骰子朝上面的数字之积能被6整除的概率为（ ） A． B． C． D． 9. 已知,圆上有且仅有一个点满足，则r的取值可以为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 10. 设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，，则该双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 11．将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则下列说法正确的是（　　） ①函数的图象关于直线对称； ②函数的图象关于点对称； ③函数在区间上单调递增； ④函数在区间上有两个零点。 A. ②③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③ 12.已知函数，设。若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 13.已知复数，其中 为虚数单位，则_______，的共轭复数的虚部为_______。 14.已知实数满足约束条件，令，则的取值范围为_______。 15.某奶茶包装可以近似为一个圆台，其上下底面圆周都在一个直径为10 cm的球面上，上下底面半径分别为4 cm，5 cm，则此容器可容纳_______cm3的奶茶。 16.数列中，，且为等比数列（），则数列的前2021项和_______。（只需写出表达式） 三、解答题：本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17.(12分)已知函数，若的图像上相邻最近的一条对称轴和一个对称中心之间的距离为，图像过点。 (1)求的表达式和的递增区间； (2)若为△的最大内角，，，求△周长的最大值。 18. (12分)如图，三棱锥，侧棱，底面三角形为正三角形，边长为2，顶点在平面上的射影为，有，且。 (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)线段上是否存在点使得平面，如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由。 19. (12分)某地区2014年至2020年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 年份代号x 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (1)若关于的线性回归方程为，根据图中数据求出实数并预测2021年该地区农村居民家庭人均纯收入； (2)在2014年至2020年中随机选取三年，用表示三年中人均纯收入高于3.6千元的