第6讲 函数的单调性-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第一册培优课程训练（学生版+教师版）

高一数学培优课—函数的单调性 一、基础知识 1.单调性的定义及其等价形式； 2.单调区间的概念； 二、典型例题 例1 设，且满足，求. 例2 设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式成立，则实数的取值范围是 。 例3 设,且，求证：. 例4 设函数，求的取值范围，使函数在是单调函数。 三、跟踪训练 1.若函数的定义域被分成了四个单调区间，则的取值范 围是 2.已知函数，若，则实数的取值范围是 3.求方程的根。 4.已知函数， （1） 若，则的定义域为 （2） 若在区间上为减函数，求实数的取值范围. 5．对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是.则称是该函数的“和谐区间”. （1）求证：函数不存在“和谐区间”. （2）已知：函数有“和谐区间，当变化时，求出的最大值. $ 高一数学培优课—函数的单调性 一、基础知识 1.单调性的定义及其等价形式； 2.单调区间的概念； 二、典型例题 例1 设，且满足，求. 解：方程组可化为： 设，则。 所以是单调递增函数， 例2 设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式成立，则实数的取值范围是 。 解：由题设知： 则。 ， 例3 设,且，求证：. 解：由题意，原式可写成： ，令。 则上式为，两边同乘以。 得：，即。 设函数，则有， 易知函数在上单调递减，故，即。 例4 设函数，求的取值范围，使函数在是单调函数。 解：设，则： 。 ，在是单调递减函数。 ，在区间上存在满足，此时在不是单调函数。 综上所述，当且仅当时，在是单调函数。 三、跟踪训练 1.若函数的定义域被分成了四个单调区间，则的取值范围是 解： 是由函数变化得到。第一步保留y轴右侧的图像，再作关于y轴对称的图像，因此定义域被分成四个单调区间，所以的对称轴在y轴的右侧，使y轴右侧有两个单调区间，对称后有四个单调区间，所以，即，的取值范围是。 2.已知函数，若，则实数的取值范围是 解： 易知为偶函数，且时，，在上单调递减，上单调递增。 的图像如图所示。 若，则只需，解得。 因此，实数的取值范围是 3.求方程的根。 解：原式等于。 设，易知是奇函数，且 。 函数在R上为单调增函数，所以原方程即 得：，解得。 4.已知函数， （1） 若，则的定义域为 （2） 若在区间上为减函数，求实数的取值范围. 解：（1）当时，由，解得。 所以函数的定义域为。 （2）当，即时，要使在上是减函数，则，解得。 当，即时，要使在上是减函数，则且，解得 综上所述，在区间上为减函数，实数的取值范围为 5．对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是.则称是该函数的“和谐区间”. （1）求证：函数不存在“和谐区间”. （2）已知：函数有“和谐区间，当变化时，求出的最大值. 解：（1）设是已知函数定义域的子集。 ，故函数在上单调递增。 若是已知函数的 “和谐区间”，则 故是方程的同号的相异实数根。 无实数根，所以函数不存在“和谐区间”。 （2）设是已知函数定义域的子集。 。 故函数在上单调递增。 若是已知函数的 “和谐区间”，则。 故是方程，即的同号的相异实数根。 同号，只须，即时，已知函数有“和谐区间”。 所以，当时，的最大值为 $