1.专题训练一 勾股定理的构造与应用-2020-2021学年八年级下册初二数学【黄冈100分闯关】湘教版（教用）

专题训练(一)　勾股定理的构造与应用 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 类型之一　在拼合中发现与验证 １．如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形(两直 角边长分别是a,b,斜边长为c)和一个边长为c的正 方形,请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形． (１)画出拼成的图形的示意图; (２)证明勾股定理． 解:(１)如图; (２)证明:因为大正方形的面积可以表 示为(a＋b)２,也可以表示为c２＋４× １ ２ab ,所以(a＋b)２＝c２＋４× １ ２ab ,展 开,得a２＋b２＋２ab＝c２＋２ab,所以a２＋b２＝c２．即直 角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． ２．用硬纸板剪成的两个全等的直角三角形和一个等腰 直角三角形按如图所示拼成一个梯形．请你结合图示 数据,利用图形中的面积关系证明勾股定理． 证明:设AB＝DE＝a,AE＝CD ＝b,BE＝CE＝c,S梯形 ＝S△ABE＋ S△CDE＋S△BCE, １ ２ (a＋b)(a＋b) ＝ １ ２ab＋ １ ２ab＋ １ ２c ２,１ ２a ２＋ １ ２b ２＋ab＝ab＋ １ ２c ２, a２＋b２＝c２ 类型之二　在作图中构建与探究 ３．如图,在网格中有一个四边形图案． (１)请你画出此图案绕点 O 顺时针旋转９０°,１８０°, ２７０°的图形,你会得到一个美丽的图案; (２)若网格中每个小正方形的边长为１,旋转后点A 的对应点依次为A１,A２,A３,求四边形AA１A２A３ 的面积; (３)这个美丽的图案能够说明一个著名结论的正确 性,请写出这个结论． 解:(１)略　(２)四边形AA１A２A３ 的面积为３４ (３)结论:勾股定理,即直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方 ４．学习了勾股定理以后,有位同学提出:“在直角三角形 中,三边满足a２＋b２＝c２,或许其他的三角形三边也 有这样的关系．”让我们来做一个实验! (１)画出任意的一个锐角三角形,量出各边的长度(精 确到 １ mm),较 短 的 两 条 边 长 分 别 是 a ＝ 　　　　mm,b＝　　　　mm,较长的一条边长 c＝　　　　mm,比较:a２＋b２　　　　c２(填 “＞”“＜”或“＝”); (２)画出任意的一个钝角三角形,量出各边的长度(精 确到 １ mm),较 短 的 两 条 边 长 分 别 是 a ＝ 　　　　mm,b＝　　　　mm,较长的一条边长 c＝　　　　mm,比较:a２＋b２　　　　c２(填 “＞”“＜”或“＝”); １１ (３)根据以上操作和结果,对这位同学提出的问题,你 猜想的结论是　　　　,类比勾股定理的验证方 法,说明其成立的理由． 解:(１)(２)略 (３)若△ABC 是锐角三角形,则三边有a２＋b２＞c２; 若△ABC 是钝角三角形,其中∠C 为钝角,则三边有 a２＋b２＜c２．理由:当△ABC 是锐角三角形时,如图 ①,过点A 作AD⊥BC,垂足为D,设CD＝x(x＞０), 则BD＝a－x．根据勾股定理,得b２－x２＝AD２＝c２－ (a－x)２,即b２－x２＝c２－a２＋２ax－x２,所以a２＋ b２＝c２＋２ax．因为a＞０,x＞０,所以２ax＞０,所以 a２＋b２＞c２; 当△ABC 是钝角兰角形时,如图②,过点B 作BD⊥ AC,交AC 的延长线于点D．设CD＝x(x＞０),则 BD２＝a２－x２．根据勾股定理,得(b＋x)２＋a２－x２＝ c２,即a２＋b２＋２bx＝c２．因为b＞０,x＞０,所以２bx＞ ０,所以a２＋b２＜c２ 类型之三　在数学经典图中构建与应用 ５．如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是 由四个全等的直角三角形围成的．在 Rt△ABC 中,若 直角边AC＝６,BC＝５,将四个直角三角形中边长为６ 的直角边分别向外延长一倍,得到图②所示的“数学 风车”,则这个风车的外围周长(图②中的实线)是 　７６　． ６．一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾 股定理的一种新的验证方法．如图,火柴盒的一个侧面 ABCD 倒下到AB′C′D′的位置,连接AC,AC′,CC′, 设AB＝a,BC＝b,AC＝c,请利用四边形BCC′D′的 面积验证勾股定理:a２＋b２＝c２． 证明:∵四边形BCC′D′为直角梯形, ∴S梯形BCC′D′＝ １ ２ (BC＋C′D′)􀅰BD′＝ (a＋b)２ ２ ． 又 ∵ ∠AB′C′＝９０°,Rt △ABC≌Rt△AB′C′,∴∠BAC＝∠B′AC′,∴∠CAC′ ＝∠CAB′＋ ∠B′AC′＝ ∠CAB′＋ ∠BAC＝９０°, ∴ S梯形BCC′D′ ＝S△ABC ＋S△CAC′ ＋S△D′AC′＝ １ ２ab＋ １ ２c ２＋ １ ２ab＝ c２＋２ab ２ ,∴ (a＋b)２ ２